Tarjan-CV/BCC/SCC算法学习笔记

DFS性质的应用——利用Tarjan算法求割顶、BCC、SCC

整理自《算法竞赛入门经典——训练指南》以及网络

DFS (depth first search)深度优先搜索算法

dfs森林：按照dfs的执行顺序，将图的所有边重新梳理，分为四个类别：前向边、反向边、交叉边和树边。在无向图中不存在交叉边，前向边与后向边等价。

关键变量：

pre[u]：记录u点被访问到的次序。

pre[u] = ++dfs_clock;

low[u]：在DFS过程中，u及其后代能连回的最早祖先的pre值。

low[u] = min{low[v] | u -> v}

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$1 计算割顶和桥

• 割顶：对于连通图，删除后使图不再连通的点。
• 桥：对于连通图，删除后使图不再连通的边。

计算割顶的方法：在DFS过程中，如果一个点u存在一个子节点v，使得v及其后代都没有反向边连回u的祖先（不包括u），即lowv >= pre[u]，则u是割顶。

计算桥的方法：如果v的后代只能连回v自己（即low(v) > pre(u)）则u-v是桥。

注意：

1. 对于已访问点，只处理反向边（条件pre[v] < pre[u]）。前向边的pre已被传递过，不需要处理。
2. 根节点需要特判：当DFS树根只有一个孩子时不是割顶，需手动取消割顶标记。

$2 计算BCC和SCC

• 无向图的（点）双连通分量（BCC）：内部无割顶，即任意两条边都在一个简单环中。
• 无向图的边-双连通分量：所有边都不是桥，即每条边都至少在一个简单环中。

计算BCC的方法：将边入栈，在找到割顶后将这条边及其之后入栈的边（子树的边）出栈，对点进行标记。

计算edge-BCC的方法：找到桥后再做一次不经过桥的DFS即可。

• 有向图的强连通分量（SCC）：分量内的点相互可达

计算SCC的方法：将点入栈，DFS过程中记录lowlink，当lowlink(u) == pre(u)时将其中的点出栈标记。

注意：

1. 当遇到已访问点时，要忽略已经确定编号的点（条件!sccno[v]）
2. lowlinku的最小值取任意一个都可以（都比树根的小)：
   
   lowlinku = min(lowlinku, pre[v] OR lowlinkv);
3. BCC算法会将单独连接的两个点也标记为BCC（两个点虽然不能称为环，但他们都不是割顶，符合BCC的定义。需要根据实际情况特判）
4. SCC算法会将每一个点都划分到一个SCC，即单独的点也会被scc_count编号，这使得缩点的过程更为方便。

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贴上代码

计算BCC

#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 2e4 + 1;
int dfs_clock, pre[maxn], iscut[maxn], bccno[maxn], bcc_count;
struct Edge {
	int u, v;
};
vector <int> bcc[maxn], G[maxn];
stack <Edge> S;
void AddE(int u, int v) {
	G[u].push_back(v);
}
int tarjan(int u, int fa) {
	int lowu = pre[u] = ++dfs_clock, child = 0;
	for (auto v: G[u]) {
		if (!pre[v]) {
			child++;
			S.push((Edge) {u, v});
			int lowv = tarjan(v, u);
			lowu = min(lowu, lowv);
			if (lowv >= pre[u]) {
				iscut[u] = 1;
				++bcc_count;
				bcc[bcc_count].clear();
				//cout<<dfs_clock<<' '<<u<<'>'<<v<<','<<lowv<<'|'<<bcc_count<<endl;
				while (1) {
					Edge e = S.top();	S.pop();
					if (bccno[e.u] != bcc_count) {
						bcc[bcc_count].push_back(e.u);
						bccno[e.u] = bcc_count;
					}
					if (bccno[e.v] != bcc_count) {
						bcc[bcc_count].push_back(e.v);
						bccno[e.v] = bcc_count;
					}
					if (e.u == u && e.v == v)	break;
				}
			}
		} else if (pre[v] < pre[u] && v != fa) {
			S.push((Edge) {u, v});
			lowu = min(lowu, pre[v]); //Err
		}
	}
	if (fa == -1 && child == 1)	iscut[u] = 0; //Err
	return lowu;
}
signed main() {
	int n, m, u, v, i;
	cin>>n>>m;
	while (m--) {
		cin>>u>>v;
		AddE(u, v);
		AddE(v, u);
	}
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		if (!pre[i])
			tarjan(i, -1);
	cout<<count(iscut + 1, iscut + n + 1, 1)<<endl;
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		if (iscut[i])
			cout<<i<<' ';
	return 0;
}

Tarjan求SCC+缩点+拓扑排序

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 1;
int n;
int pre[maxn], dfs_clock, sccno[maxn], scc_count;
int c[maxn], topo[maxn];
vector <int> G[maxn], GA[maxn], scc[maxn];
stack <int> S;
void AddE(int u, int v) {
	G[u].push_back(v);
}
void AddED(int u, int v) {
	//cout<<"Add"<<u<<' '<<v<<endl;
	GA[u].push_back(v);
}
int tarjan(int u) {
	int lowlinku = pre[u] = ++dfs_clock;
	S.push(u);
	for (auto x: G[u])
		if (!pre[x]) {
			int lowlinkv = tarjan(x);
			lowlinku = min(lowlinku, lowlinkv);
		} else if (!sccno[x])
			lowlinku = min(lowlinku, pre[x]);
	if (lowlinku == pre[u]) {
		++scc_count;
		scc[scc_count].clear();
		//cout<<endl<<scc_count<<":";
		while (1) {
			int v = S.top(); S.pop();
			scc[scc_count].push_back(v);
			sccno[v] = scc_count;
			//cout<<v<<' ';
			if (v == u)	break;
		}
	}
	return lowlinku;
}
int dfs(int u) {
	static int cnt = scc_count;
	if (c[u] == -1)
		return false;
	c[u] = -1;
	for (auto v: GA[u])
		if (!c[v] && !dfs(v))	return false;
	c[u] = 1;
	topo[cnt--] = u;
	return true;
}
int toposort(int n) {
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!c[i])
			if (!dfs(i))
				return false;
	return true;
}

signed main() {
	int m, i, u, v;
	cin>>n>>m;
	while (m--) {
		cin>>u>>v;
		AddE(u, v);
	}
	for (i = 1; i <= n; ++i) {
		if (!pre[i])
			tarjan(i);
	}
	for (i = 1; i <= n; ++i) //Err Impppp
		for (int v: G[i]) if (sccno[i] != sccno[v]) //Err2.
			AddED(sccno[i], sccno[v]);
	if (!toposort(scc_count))
		cout<<"Shit!"<<endl;
	return 0;
}