luogu题解 P1099 【树网的核】树的直径变式+数据结构维护

• 题目链接：

  https://www.luogu.org/problemnew/show/P1099

  https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1999 (加强版)

• 分析：

  首先你需要\(O(N)\)求树的直径的前置技能，其实很简单，先随便找个根找到树上距离它最远的顶点\(S\)，然后以\(S\)为根找树上距离\(S\)最远的顶点\(E\),\(S,E\)之间的路径就是树的直径

  1. 暴力枚举

     按照题目要求说的去做就好了，求出树的直径，然后根据贪心找长度小于等于s的路径搜一遍就好了，时间复杂度\(O(N^2)\) 代码难度小 可过NOIP数据

  2. 预处理扫描

     还是先求出树的直径,然后通过仔细分析偏心距怎么求，发现无非三种情况

     1.直径最左端顶点到路径最左端顶点距离

     2.路径上各点不经过直径上其他点到达的最大距离

     3.直径上最右端顶点到路径最右端顶点的距离

     我相信2理解不难,现在简单证明1情况（3同理）的正确性：假设路径最左端有一条向左延伸的路径其终点\(E'\)不是直径左端点而距离却更大，则违反直径定义，因为这样\(E'\)与路径左端点连接能形成一条更长的直径

     于是我们需要四遍DFS（也许你写的好的话并不需要这么多遍）

     前两遍就是求树的直径，用一个\(dmet[]\)将直径各点按顺序记录方便区间处理,\(diameter\)为直径长度

     第三遍求直径上各点不经过直径上其他点达到的最大距离,用\(d[]\)记录

     第四遍求直径左右段点到直径各点距离，用\(ld[],rd[]\)记录

     然后我们扫描长度小于等于s的路径（可能是一个点）,找上述三种情况的最大值,找第二种情况最大值你可以用滑动窗口，ST Table，线段树在区间查找最大值，这里采用线段树

     时间复杂度:\(O(N\log N)\)

     可以过比较大的数据，这是加强版

     https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1999

• 代码

  写得比较丑，见谅

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <queue>
#define ll long long
#define ri register int
using namespace std;
const int maxn=500005;
const int maxm=1000005;
const int inf=0x7fffffff;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;
    return ;
}
struct Edge{
	int ne,to,dis;
}edge[maxm];
int h[maxn],num_edge=0,mx=-inf;
bool vis[maxn];
void add(int f,int to,int dis){
	edge[++num_edge].ne=h[f];
	edge[num_edge].to=to;
	edge[num_edge].dis=dis;
	h[f]=num_edge;
}
int n,s,head,tail;
void dfs_1(int fa,int cur,int cnt){
	for(ri i=h[cur];i;i=edge[i].ne){
		if(edge[i].to!=fa)dfs_1(cur,edge[i].to,cnt+edge[i].dis);
	}
	if(cnt>mx){
		mx=cnt,head=cur;
	}
	return ;
}
int pre[maxn],dmet[maxn],d[maxn],diameter;
void dfs_2(int fa,int cur,int cnt){
	for(ri i=h[cur];i;i=edge[i].ne){
		if(edge[i].to!=fa){
			pre[edge[i].to]=cur;
			dfs_2(cur,edge[i].to,cnt+edge[i].dis);
		}
	}
	if(cnt>mx){
		mx=cnt,tail=cur;
	}
	return ;
}
int root;
void dfs_3(int fa,int cur,int cnt){
	for(ri i=h[cur];i;i=edge[i].ne){
		int v=edge[i].to;
		if(!vis[v]&&v!=fa){
			dfs_3(cur,v,cnt+edge[i].dis);
		}
	}
	if(cnt>mx){
		mx=cnt,d[root]=cnt;
	}
	return ;
}
int ld[maxn],rd[maxn],fun[maxn];
void dfs_4(int fa,int cur,int cnt){
	for(ri i=h[cur];i;i=edge[i].ne){
		int v=edge[i].to;
		if(vis[v]&&v!=fa){
			dfs_4(cur,v,cnt+edge[i].dis);
		}
	}
	ld[fun[cur]]=cnt,rd[fun[cur]]=diameter-cnt;
	return ;
}
int maxx[maxn<<2],L,R;
void build(int now,int l,int r){
	if(l==r){
		maxx[now]=d[dmet[l]];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
    build(now<<1,l,mid);
    build(now<<1|1,mid+1,r);
    maxx[now]=max(maxx[now<<1],maxx[now<<1|1]);
    return ;
}
int query(int now,int l,int r){
	if(L<=l&&r<=R){
		return maxx[now];
	}
	int mid=(l+r)>>1,ans=-inf;
	if(L<=mid)ans=max(ans,query(now<<1,l,mid));
	if(mid<R)ans=max(ans,query(now<<1|1,mid+1,r));
	return ans;
}
int main(){
	int x,y,z;
	read(n),read(s);
	for(ri i=1;i<n;i++){
		read(x),read(y),read(z);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	mx=-inf;
	dfs_1(0,1,0);
	mx=-inf;
	dfs_2(0,head,0);
	diameter=mx;  //两次DFS找直径
/*------------------*/
	int tmp=tail,tot=0;
	while(tmp!=head){
		dmet[++tot]=tmp;
		fun[tmp]=tot;
		vis[tmp]=1;
		tmp=pre[tmp];
	}
	dmet[++tot]=head;
	fun[head]=tot;
	vis[head]=1;  //记录直径
/*------------------*/
	for(ri i=1;i<=tot;i++){
		root=dmet[i];
		mx=-inf;
	    dfs_3(0,dmet[i],0);
    }             //找从直径各点不经过其他直径上的点走过的最大长度
    dfs_4(0,tail,0);//找直径两端点到直径各点距离
    build(1,1,tot);//建线段树，不会ST Table的我
/*-----------------*/
    int ans=inf,l=1,r=1;
    while(ld[r+1]-ld[l]<=s&&r!=tot)r++;
    //cout<<tot<<'*'<<endl;
    while(r<=tot){//cout<<l<<' '<<r<<endl;
    	L=l,R=r;
    	ans=min(ans,max(query(1,1,tot),max(ld[l],rd[r])));
    	if(r==tot)break;
        l++;
        while(ld[r+1]-ld[l]<=s&&r!=tot)r++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}