2019牛客多校第五场F maximum clique 1 最大独立集

题意：给你n个数，现在让你选择一个数目最大的集合，使得集合中任意两个数的二进制表示至少有两位不同，问这个集合最大是多大？并且输出具体方案。保证n个数互不相同。

思路：容易发现，如果两个数不能同时在集合中，这两个数的二进制表示一定只有一位不同（因为n个数互不相同，所以一定不会有两个数的二进制位一定相同）。那么我们不妨把每个数和它只有一位不同的数连一条边，那么原问题就变成了在一张图上找最多的点，使得任意两点间都没有变直接相连，而这个问题就是最大独立集问题。而且，由于n个数互不相同，所以这张图一定没有长度为奇数的环，即这张图一定是二分图。那么，现在问题就变成了求一张二分图的最大独立集大小并输出具体方案。独立集大小我们都知道是n - 最大匹配数，怎么求具体方案呢？我们知道最大独立集和最小点覆盖是互补关系，那么我们可以求出最小点覆盖，不是最小点覆盖的点就是最大独立集中的点了。

最小点覆盖的构造方法如下（来自《算法竞赛进阶指南》）：

1：求出二分图的最大匹配。

2：从左部每个非匹配点出发，再执行一次dfs寻找增广路的过程（这个过程一定会失败），并标记沿途访问过的节点。

3：取左部未被标记过的节点，右部标记过的节点，就得到了二分图的最小点覆盖。

对于这个题，在构造出了图之后，我们先通过搜索确定哪些点在左边，哪些点在右边，之后执行二分图最大匹配。最后，枚举点，如果这个点没有点和它匹配（即非匹配点），从这个点再进行增广。最后把不是最小点覆盖中的点计入答案。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
int a[maxn];
bool v[maxn], l[maxn];
bool va[maxn], vb[maxn];
vector<int> rea, reb;
int match[maxn];
vector<int> G[maxn], ans;
void add(int x, int y) {
	G[x].push_back(y);
	G[y].push_back(x);
}
bool dfs(int x) {
	va[x] = 1;
	v[x] = 1;
	for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
		int y = G[x][i];
		if(!vb[y]) {
			vb[y] = 1;
			if(!match[y] || dfs(match[y])) {
				match[y] = x;
				return 1;
			}
			v[y] = 1;
		}
	}
	return 0;
}
void dfs1(int x, int dep) {
	if(dep & 1) {
		rea.push_back(x);
		l[x] = 1;
 	} else {
		reb.push_back(x);
		l[x] = 0;
	}
	v[x] = 1;
	for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
		int y = G[x][i];
		if(v[y]) continue;
		dfs1(y, dep + 1);
	}
}
int main() {
	int n;
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			if(__builtin_popcount(a[i] ^ a[j]) == 1) {
				add(i, j);
			}
		}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(v[i]) continue;
		dfs1(i, 1);
	}
	memset(v, 0, sizeof(v));
	if(rea.size() > reb.size()) {
		swap(rea, reb);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			l[i] ^= 1;
	}
	for (int i = 0; i < rea.size(); i++) {
		memset(va, 0, sizeof(va));
		memset(vb, 0, sizeof(vb));
		dfs(rea[i]);
	}
	memset(va, 0, sizeof(va));
	memset(vb, 0, sizeof(vb));
	memset(v, 0, sizeof(v));
	for (int i = 0; i < rea.size(); i++) {
		bool flag = 0;
		int x = rea[i];
		for (int j = 0; j < G[x].size(); j++) {
			int y = G[x][j];
			if(match[y] == x) {
				flag = 1;
				break;
			}
		}
		if(flag == 0 && v[x] == 0) {
			dfs(x);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(l[i] == 1 && v[i] == 1) ans.push_back(i);
		else if(l[i] == 0 && v[i] == 0) ans.push_back(i);
	}
	printf("%d\n", ans.size());
	for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
		printf("%d ", a[ans[i]]);
	}
	printf("\n");
}