【题解】Oh My Holy FFF

题目大意

  有\(n\)个士兵（\(1 \leq n \leq 10^5\)），第\(i\)个士兵的身高为\(h_{i}\)，现在要求把士兵按照原来的顺序分成连续的若干组，要求每组的士兵数量不超过\(len\)。

  同时，我们设每组的最后一个士兵的身高为\(b_{i}\)，则有\(b_{i} > b_{i - 1}\)（\(b_0 = 0\)），现在我们设每种分组方案的价值为\(\sum b_{i}^2 - b_{i - 1}\)，求能得到的最大价值为多少？

 

题解

  我们设\(dp[i]\)表示前\(i\)个士兵分成任意组的最大价值，容易得到：

\[dp[i] = \underset{i - len \leq j < i}{\max} \{ dp[j] + k_{i}^2 - k_{j} \}
\]

  整理一下，得到：

\[dp[i] = k_{i}^2 + \underset{i - len \leq j < i}{\max} \{ dp[j] - k_{j} \}
\]

  我们可以用线段树来维护\(\underset{i - len \leq j < i}{\max} \{ dp[j] - k_{j} \}\).

  但是。如何保证题目中要求的\(b_{i} > b_{i - 1}\)呢？

  其实，对于每个士兵，我们可以先按照身高来进行升序排列，如果身高相同，我们就按照编号（原来的顺序）降序排列，然后对于排序后的士兵\(i\)，我们设他原来的编号为\(idx_{i}\)，则我们就查找线段树上\([idx_{i} - len, idx_{i} - 1]\)的价值，同时更新也是更新线段树上的\(idx_{i}\)的位置。

  因为对于每个士兵\(i\)，如果在排序前能找到和他进行状态转移的士兵\(j\)，那么排序后，肯定有\(idx_{j} \in [idx_{i} - len, idx_{i} - 1]\)，这个大家可以自己试几个情况，所以这样做即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define MAX_N (100000 + 5)
#define SIZE (1 << 21)

#define lowbit(x) ((x) & -(x))
#define Getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = fr) + fread(fr, 1, SIZE, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)

using namespace std;

char fr[SIZE], * p1 = fr, * p2 = fr;

void Read(int & res)
{
    res = 0;
    char ch = Getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch = Getchar();
    while(isdigit(ch)) res = res * 10 + ch - '0', ch = Getchar();
    return;
}

struct Node
{
    int h;
    int idx;
    friend inline bool operator < (Node a, Node b)
    {
        if(a.h != b.h) return a.h < b.h;
        return a.idx > b.idx;
    }
};

int T;
int n, len;
Node a[MAX_N];
long long s[MAX_N << 2];

void Modify(int x, int l, int r, int pos, long long val)
{
    if (r < pos || pos < l) return;
    if (l == r)
    {
        s[x] = val;
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    Modify(x << 1, l, mid, pos, val);
    Modify(x << 1 | 1, mid + 1, r, pos, val);
    s[x] = max(s[x << 1], s[x << 1 | 1]);
    return;
}

long long Query(int x, int l, int r, int L, int R)
{
    if (r < L || R < l) return -0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
    if (L <= l && r <= R) return s[x];
    int mid = l + r >> 1;
    return max(Query(x << 1, l, mid, L, R), Query(x << 1 | 1, mid + 1, r, L, R));
}

int main()
{
    Read(T);
    for (int I = 1; I <= T; ++I)
    {
        memset(s, -0x7f, sizeof s);
        Read(n); Read(len);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            Read(a[i].h);
            a[i].idx = i;
        }
        sort(a + 1, a + n + 1);
        long long tmp;
        printf("Case #%d: ", I);
        Modify(1, 0, n, 0, 0);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            tmp = Query(1, 0, n, max(0, a[i].idx - len), a[i].idx - 1);
            if (tmp < -0x7f7f7f7f)
            {
                if (a[i].idx == n)
                {
                    printf("No solution\n");
                    break;
                }
                continue;
            }
            if (a[i].idx == n)
            {
                printf("%lld\n", (long long)a[i].h * a[i].h + tmp);
                break;
            }
            Modify(1, 0, n, a[i].idx, (long long)a[i].h * a[i].h + tmp - a[i].h);
        }
    }
    return 0;
}