Solution -「洛谷 P3267」「JLOI 2016」「SHOI 2016」侦察守卫

Description

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给你一棵树，放置守卫在某个点上面需要一定代价和一定的有效范围。让你覆盖若干指定点，求最小代价

Solution

算法标签：

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 树DP

DP状态定义:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 说实话这道题定状态不好定。

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 那么我们从头来看，当 \(d =0\) 的时候，我们就是在求树的最大独立集，定义显而易见。

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ \(d\neq 0\) 我们可以照搬原来的定义，把它扩展一下。

---

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ \(f_{i,j}\) 表示以 \(i\) 为根结点的子树已经完全被覆盖让然后还能向上覆盖 \(j\) 层的最小代价

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ \(g_{i,j}=\) 表示以 \(i\) 为根结点的子树还有 \(j\) 层没有覆盖的最小代价

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$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 需要注意的是 \(j\) 本质上是带有方向性的，可以类比向量的概念。

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 边界条件很显然，\(f_{i,0}=val_{i}\) 此时当前结点需要被覆盖。

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 其他情况：

\[\begin{cases}
f_{i,j}=val_{i},j\in [1,d] \\
\displaystyle
f_{i,j}=\infty,j=d+1
\end{cases}
\]

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 状态转移方程倒是比较好想，这里就不再赘述。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>

char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define gc() getchar()
#else
#define gc() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#endif
#define is_number (ch >= '0' && ch <= '9')

template < typename Type >
void read(Type& a) {
	a = 0; bool f = 0; char ch;
	while (!(ch = gc(), is_number)) if (ch == '-') f = 1;
	while (is_number) a = (a << 3) + (a << 1) + (ch ^ '0'), ch = gc();
	a = (f ? -a : a);
}

template < typename Type, typename... Args >
void read(Type& t, Args&... args) {
	read(t), read(args...);
}

int val[500005], f[500005][25];
int g[500005][25], vis[500005];
int n, m, d, tot, head[500005];
int nxt[1000005], to[1000005];
std::vector < std::vector < int > > G(500005);

void add(int x, int y) {
	to[++tot] = y;
	nxt[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
	G[x].push_back(y);
	G[y].push_back(x);
}

void DP(int x, int fa) {
	if (vis[x]) g[x][0] = f[x][0] = val[x];
	for (int i = 1; i <= d; ++i) f[x][i] = val[x];
	f[x][d + 1] = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
		int y = to[i];
		if (y ^ fa) {
			DP(y, x);
			for (int j = d; j >= 0; --j)
				f[x][j] = std::min(f[y][j + 1] + g[x][j + 1], f[x][j] + g[y][j]);
			for (int j = d; j >= 0; --j)
				f[x][j] = std::min(f[x][j + 1], f[x][j]);
			g[x][0] = f[x][0];
			for (int j = 1; j <= d + 1; ++j)
				g[x][j] += g[y][j - 1];
			for (int j = 1; j <= d + 1; ++j)
				g[x][j] = std::min(g[x][j - 1], g[x][j]);
		}
	}
}

signed main() {
	read(n, d);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(val[i]);
	read(m);
	for (int i = 0, x; i < m; ++i) read(x), vis[x] = 1;
	for (int i = 1, x, y; i < n; ++i) read(x, y), add(x, y), add(y, x);
	DP(1, 0);
	printf("%d\n", g[1][0]);
}