[HDU3516] Tree Construction [四边形不等式dp]

题面：

传送门

思路：

这道题有个结论：

把两棵树$\left[i,k\right]$以及$\left[k+1,j\right]$连接起来的最小花费是$x\left[k+1\right]-x\left[i\right]+y\left[k\right]-y\left[j\right]$

然后就明显可以区间dp了

设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示把闭区间$\left[i,j\right]$中的点连起来的最小花费，然后定义上面那个最小花费为$w\left(i,k,j\right)$

那么转移方程就比较显然了：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i\right]\left[k\right]+dp\left[k+1\right]\left[j\right]+w\left(i,k,j\right)\right)$

证明一下可以看出，$w$函数在$k$不变的时候，是满足四边形不等式的

因此可以给$dp$套一个优化，在$O\left(n^2\right)$中解决

这道题目的重难点实际上就是求$w\left(i,k,j\right)$的表达式，求出来就很显然了

Code：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define inf 1e9
 using namespace std;
 inline int read(){
     int re=,flag=;char ch=getchar();
     while(ch>''||ch<''){
         if(ch=='-') flag=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
     return re*flag;
 }
 int n,x[],y[],dp[][],s[][];
 int w(int l,int mid,int r){
     return x[mid+]-x[l]+y[mid]-y[r];
 }
 int main(){
     int i,j,len,tmp,k;
     while(~scanf("%d",&n)){
     for(i=;i<=n;i++) x[i]=read(),y[i]=read();
         for(i=;i<=n;i++) dp[i][i]=,s[i][i]=i;
         for(len=;len<n;len++){
             for(i=;i<=n;i++){
                 j=len+i;if(j>n) break;
                 dp[i][j]=inf;
                 for(k=s[i][j-];k<=s[i+][j]&&k<j;k++){
                     if((tmp=dp[i][k]+dp[k+][j]+w(i,k,j))<dp[i][j]){
                         dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
                     }
                 }
             }
         }
         printf("%d\n",dp[][n]);
     }
 }