转载： scikit-learn学习之回归分析

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本系列博客主要参考 Scikit-Learn 官方网站上的每一个算法进行，并进行部分翻译，如有错误，请大家指正

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另外一篇基于《机器学习实战》的Logistic回归分析的博客请参考：点击阅读，其主要是采用Python代码实现回归模型

还有一篇是纯实战案例博客请参考 ，Logistic回归模型案例实战：《机器学习实战》Logistic回归算法（2）

目录：

1、概念

2、简单线性回归（Simple Liner Regession）

3、多元性回归（Mutiple Regession）

4、非线性回归（Logistic Regession）

一：概念

1：集中趋势衡量

        1.1均值（平均值，平均数）（mean）

        1.2中位数（median）：将数据中的所有数按大小排列顺序，位于中间的拿个书就是中位数

                个数为奇数，取中间值

                个数为偶数，取中间两个数的平均值

        1.3众数：数据中出现最多的数

2：离散程度的衡量

        2.1方差（variance）

        2.2标准差（standard deviation）

3：回归中的相关度

     3.1：皮尔逊相关度

     衡量两个相关强度的量，取值范围是[-1,1]，计算公式为：

4：R平方值

决定系数（可决系数，拟合优度），反应因变量的全部变异能通过回归关系被自变量解释的比例，取值范围[0,1]，可决系数越大，说明在总变差中由模型作出了解释的部分占的比重越大，模型拟合优度越好。反之可决系数小，说明模型对样本观测值的拟合程度越差。

描述：如R平方为0.8，则表示回归关系可以解释因变量80%的变异，换句话说，如果我们能控制自变量不变，则因变量变异程度将会减少80%

对于 简单线性回归来说，R^2= r * r

对于多元线性回归来说，

SSR表示由模型引起的误差平方和，SST表示由实际值引起的差值平方和

 

R平方也有局限性，会随着自变量的增大而增大

一个关于相关系数的BBS：http://bbs.pinggu.org/thread-3034786-1-1.html

5：皮尔逊相关系数和R平方值计算示例

1. #coding:utf-8
2. '''''
3. Created on 2015年11月8日
4. @author: Administrator
5. '''
6. import numpy as np
7. import math
8. #求解皮尔逊相关系数
9. def computeCorrelation(X, Y):
10. xBar = np.mean(X)
11. yBar = np.mean(Y)
12. SSR = 0
13. varX = 0
14. varY = 0
15. for i in range(0, len(X)):
16. #对应分子部分
17. diffXXBar = X[i] - xBar
18. diffYYBar = Y[i] - yBar
19. SSR +=(diffXXBar * diffYYBar)
20. #对应分母求和部分
21. varX += diffXXBar**2
22. varY += diffYYBar**2
23. SST = math.sqrt(varX * varY)
24. return SSR/SST
25. def polyfit(x, y, degree):
26. results = {}
27. #coeffs 为相关系数，x自变量，y因变量，degree为最高幂
28. coeffs = np.polyfit(x, y, degree)
29. #定义一个字典存放值，值为相关系数list
30. results['polynomial'] = coeffs.tolist()
31. #p相当于直线方程
32. p = np.poly1d(coeffs)
33. yhat = p(x)  #传入x，计算预测值为yhat
34. ybar = np.sum(y)/len(y)  #计算均值
35. #对应公式
36. ssreg = np.sum((yhat - ybar) ** 2)
37. sstot = np.sum((y - ybar) ** 2)
38. results['determination'] = ssreg / sstot
39. print" results :",results
40. return results
41. testX = [1, 3, 8, 7, 9]
42. testY = [10, 12, 24, 21, 34]
43. #输出的是简单线性回归的皮尔逊相关度和R平方值
44. print "r : ",computeCorrelation(testX, testY)
45. print "r^2 : ",str(computeCorrelation(testX, testY)**2)
46. #
47. print polyfit(testX, testY, 1)["determination"]

结果显示为：

二：简单线性回归

1：回归与分类的区别

       回归（regession）：Y变量为连续型数值，如房价，人数，降雨量

       分类（classification）：Y变量为类别型，如颜色类别，电脑品牌，有无信誉

2：简单线性回归介绍

       回归分析：是指建立方程模拟两个或者多个变量之间如何关联

       回归模型：是指被用来描述因变量（y）和自变量（x）以及偏差（error）之间的关系的方程，函数表示为：

                       

       简单线性回归方程：模型转变为即为回归方程（类似于一条直线，参数为斜率和y轴的交点）

       线性关系包含：正相关，负相关，无关

       估计线性方程：

                       

       关于偏差：

3：简单线性回归示例

1. <span style="font-family:Microsoft YaHei;"><span style="font-size:18px;">#coding:utf8
2. '''''
3. Created on 2016年4月24日
4. @author: Gamer Think
5. '''
6. #Simple Regession
7. import numpy as np
8. #周广告播放数量
9. x = [1,3,2,1,3]
10. #周汽车销售数据
11. y = [14,24,18,17,27]
12. #使用最小二乘法
13. def fitSLR(x,y):
14. n = len(x)
15. denominator  = 0
16. numerator = 0
17. for i in range(0,n):
18. numerator += (x[i]-np.mean(x)* (y[i]-np.mean(y)) )
19. denominator += (x[i]-np.mean(x))**2
20. print "denominator:",denominator
21. print "numerator:",numerator
22. b1 = numerator/float(denominator)
23. #     b0 = np.mean(y)/float(np.mean(x))
24. b0 = np.mean(y)-b1*np.mean(x)
25. return b0,b1
26. def predict(b0,b1,x):
27. return b0+b1*x
28. b0,b1 = fitSLR(x,y)
29. x_test = 6
30. print "y_test：",predict(b0,b1,x_test)</span></span>

三：多元性回归

1：多元回归简介

        与简单线性回归的区别：有多个变量x

        多元回归模型：

多元回归方程：

估计多元回归方程：（y变成y_hat,即求得是估计值）

估计方法：

2：多元线性回归示例

                                                               

                     我们需要的数据是第二，三，四列的数据

 

1. <span style="font-family:Microsoft YaHei;"><span style="font-size:18px;">#coding:utf-8
2. '''''
3. Created on 2016年4月24日
4. @author: Gamer Think
5. '''
6. from sklearn import linear_model
7. import numpy as np
8. from numpy import genfromtxt #可以将非array格式的list转化为array
9. datapath = "data.csv"
10. deliverData = genfromtxt(datapath,delimiter=",") #将csv文件转化为numpy.array格式
11. print "data:",deliverData
12. X= deliverData[:,:-1]
13. Y = deliverData[:,-1]
14. print "X:",X
15. print "Y:",Y
16. regr = linear_model.LinearRegression()
17. regr.fit(X,Y)
18. print "coefficients:",regr.coef_        #与X结合的值
19. print "intercept:",regr.intercept_         #类似于截距
20. x_pre = [102,6]
21. y_pre = regr.predict(x_pre)
22. print "Y-Predict:",y_pre
23. </span></span>

3：如果自变量中有分类型变量（categorical data）,如何处理？

     e g：

              

               首先将分类型变量进行转化为如下形式（第四五六列表示0,1,2，为1表示使用该型号车）

             

             调用的代码其实和上边的是一样的：

1. <span style="font-family:Microsoft YaHei;"><span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:18px;">#coding:utf-8
2. '''''
3. Created on 2016年4月24日
4. @author: Gamer Think
5. '''
6. from numpy import genfromtxt
7. import numpy as np
8. from sklearn import datasets, linear_model
9. dataPath = "dataDumpy.csv"
10. deleveryData = genfromtxt(dataPath, delimiter=',')
11. print "data:\n",deleveryData
12. X = deleveryData[:, :-1]
13. Y = deleveryData[:, -1]
14. print "X: ",X
15. print "Y: ",Y
16. regr = linear_model.LinearRegression()
17. regr.fit(X, Y)
18. print "Coefficients:",regr.coef_  #与X结合的值
19. print "Intercept:",regr.intercept_ #类似于截距
20. #
21. xPred = [102,6,0,0,1]
22. yPred = regr.predict(xPred)
23. print "predict y : ",yPred</span></span>

4：关于误差

 

四：非线性回归

非线性回归又称为逻辑回归

1：概率

     对一件事情发生可能性的衡量，取值范围是0~1，计算方法包括，个人置信，历史数据，模拟数据

     条件概率：

   

非线性回归实例：

1. <span style="font-family:Microsoft YaHei;"><span style="font-size:18px;">#coding:utf-8
2. '''''
3. Created on 2016年4月24日
4. @author: Gamer Think
5. '''
6. import numpy as np
7. import random
8. '''''
9. 梯度下降算法
10. 参数说明：X，Y
11. theta:一组向量和x相乘的一组值
12. alpha:梯度下降时的参数，即每一步下降多少
13. m:实例的个数
14. numIteration：迭代计算的次数，可以理解为梯度下降多少步
15. '''
16. def gradientDescent(X,Y,theta,alpha,m,numIteration):
17. x_trains = X.transpose()  #X的转置矩阵
18. for i in range(0,numIteration):
19. hypothesis = np.dot(X,theta)      #内积形式，X与theta的乘积  ，求出y的估计值
20. loss = hypothesis - Y             #估计值与真实值之间的差
21. #通用的梯度下降算法，和logistic Regession中所描述的cost函数不一致
22. cos = np.sum(loss**2)/(2*m)
23. print "Iteration %d | Cost:%f" % (i,cos)
24. gradient = np.dot(x_trains,loss)/m
25. theta = theta - alpha*gradient
26. return theta
27. '''''
28. numPoints : 点的个数
29. bias :偏好ֵ
30. variance : 统计学概念， 偏差和
31. 产生样本点和对应的标签
32. '''
33. def genData(numPoints,bias,variance):
34. X = np.zeros(shape=(numPoints,2))     #归类的数据
35. Y = np.zeros(shape=numPoints)         #归类的标签
36. for i in range(0,numPoints):   #从0~len(numPoints)-1执行如下
37. X[i][0] = 1
38. X[i][1] = i
39. #制造target数据
40. Y[i] = (i+bias) + random.uniform(0,1)*variance
41. return X,Y
42. X,Y = genData(100, 25, 10)
43. # print  "X:",X
44. # print  "Y:",Y
45. m, n = np.shape(X)
46. n_y = np.shape(Y)
47. # print "x shape :", m, "  ", n
48. # print "y length :",n_y
49. numIterations =100000
50. alpha = 0.0005
51. theta = np.ones(n)
52. theta = gradientDescent(X, Y, theta, alpha, m, numIterations)
53. print "theta: " ,theta
54. </span></span>

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