CF_229E_Gift_概率DP+组合数学

CF_229E_Gift_概率DP+组合数学

题目描述：

很久很久以前，一位老人和他的妻子住在蔚蓝的海边。有一天，这位老人前去捕鱼，他捉到了一条活着的金鱼。鱼说：“噢，老渔人！我祈求你放我回到海里，这样的话我保证给你n样礼物——任何你想要的礼物！”鱼给了老人一张礼物的清单并附上了礼物的价值。清单上的一些礼物可能会有相同的名称、不同的价值，也可能会有不同的名称、相同的价值。然而，清单上不会出现名称和价值都相同的礼物。老人可以向鱼索要清单上的n个礼物。假设清单上有p样礼物价值相同，则该礼物不能被索要超过p次。老人知道，如果他索要同一个名称s次，那么金鱼会等概率地随机选择该名称下的s样礼物。老人想要满足他贪心的妻子，所以他会选择价值最高的n样礼物。此外，如果有不同的方法选择最高价值的n样礼物，他会等概率地采用其中任意一个方法。老人想知道，他能拿到n样价值最高的礼物的概率是多少。然而他不怎么擅长概率论，于是就来向你求助。

输入格式

第一行有两个整数n和m，n代表老人想要的礼物数量、m代表清单上各不相同的名称的数量。接下来有m行，第i行首先包括一个整数ki(ki> 0)，代表第i个名称下礼物的数量。接着，ki个各不相同的整数cij(1<=cij<=109)是这些礼物的价格。

输出格式

输出仅一行：一个实数——老人拿到n样价值最高的礼物的概率。绝对误差不超过10-9时，输出被认为是正确的。

样例

gift1.in gift1.out
3 1
3 10 20 30 

1.000000000
////////////
gift2.in gift2.out
3 2
1 40
4 10 20 30 40

0.166666667
/////////////
gift3.in gif3.out
3 2
3 1 2 3
1 1

0.666666667

---

首先能够发现有一些礼物是必须选的，设编号为$i$的礼物中必须选的个数为$cnt[i]$，有一些可能选的。

然后发现必须选的礼物一定是所有礼物中价值第$n$大的，记为$val[n]$，并且可能选的那些一定等于$val[n]$，并记录等于$val[n]$的礼物个数$ry$，应该选价值为$val[n]$的礼物个数$rm$。

题中又说了编号相同则价值不会相同，所以同一编号下最多只会有一个是可能选的。

可以暴力枚举那些编号是选的，然后除上组合数。最后再除以$C[ry][rm]$。

暴力复杂度指数级别，显然过不了这题，于是加上个记忆化。

设$F[i][j]$表示考虑前$i$编号的礼物，已经选了$j$个可以选的最后成功的概率。

那么有初始值$F[0][0]=1$,答案为$F[m][rm]/C[ry][rm]$。

有转移:$F[i][j]=F[i-1][j]/C[k[i]][cnt[i]]$。如果$i$编号中有可能选的，则需要额外加上$F[i-1][j-1]/C[k[i]][cnt[i]+1]$。

时间复杂度$O(nm)$

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef double f3;
int n,m,k[1050],val[1050],a[1050][1050],cnt[1050],w[1050],is[1050];
f3 C[1050][1050],f[1030][1030];
inline bool cmp(int x,int y) {return x>y;}
int main() {
	//freopen("gift.in","r",stdin);
	//freopen("gift.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,j;
	int tot=0;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d",&k[i]);
		for(j=1;j<=k[i];j++) {
			scanf("%d",&a[i][j]);
			val[++tot]=a[i][j];
		}
	}
	int ry=0,rm=0;
	sort(val+1,val+tot+1,cmp);
	int v=val[n];
	for(i=1;i<=m;i++) {
		for(j=1;j<=k[i];j++) {
			if(a[i][j]>v) cnt[i]++;
			if(a[i][j]==v) {
				w[++ry]=i;
				is[i]=1;
			}
		}
	}
	for(i=n;i>=1;i--) {
		if(val[i]==val[n]) rm++;
		else break;
	}
	for(i=0;i<=tot;i++) C[i][0]=C[i][i]=1;
	for(i=1;i<=tot;i++) {
		for(j=1;j<=i;j++) {
			C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
		}
	}
	f3 tmp=C[ry][rm];
	//printf("%d\n",tot);
	//for(i=0;i<=ry;i++) f[0][i]=1;
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=m;i++) {
		for(j=0;j<=rm;j++) {
			if(is[i]&&j) {
				f[i][j]=f[i-1][j-1]/C[k[i]][cnt[i]+1];
			}
			f[i][j]+=f[i-1][j]/C[k[i]][cnt[i]];
			//printf("%.9f\n",(double)f[i][j]);
		}
	}
	printf("%.9f\n",f[m][rm]/tmp);
}

---