[数学]高数部分-Part I 极限与连续

Part I 极限与连续

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• Part I 极限与连续
  • 一、极限
    • 泰勒公式
    • 基本微分公式
    • 常用等价无穷小
    • 函数极限定义
    • 数列极限数列极限
    • 极限的性质
    • 极限的唯一性
    • 极限的局部有限性
    • 极限的局部保号性
    • 函数极限计算三板斧
    • 七种不定形
    • 洛必达法则
    • 数列极限运算法则
  • 二、连续与间断
    • 夹逼准则
    • 极限的连续与间断的基本常识
    • 连续的定义
    • 有界性定理
    • 最值定理
    • 介值定理
    • 零点定理
    • 间断的定义

一、极限

泰勒公式

任何可导函数 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，

\(x\rightarrow 0\)时

1. \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
2. \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
3. \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
4. \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
5. \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
6. \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
7. \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
8. \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)

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基本微分公式

1. \(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)

2. \({(a^{x})}'=a^{x}lna\)

3. \({(e^{x})}'=e^{x}\)

4. \({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)

5. \({(sinx)}'=cosx\)

6. \({(cosx)}'=-sinx\)

7. \({(tanx)}'=sec^{2}x\)

8. \({(cotx)}'=-csc^{2}x\)

9. \({(secx)}'=secxtanx\)

10. \({(cscx)}'=-cscxcotx\)

11. \({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

12. \({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

13. \({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)

14. \({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)

15. \({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

16. \(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

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常用等价无穷小

1. \(x \rightarrow 0\)
2. \(sin x \sim x\)
3. \(arcsin x \sim x\)
4. \(tan x \sim x\)
5. \(arctan x \sim x\)
6. \(e^{x} - 1 \sim x\)
7. \(ln(1 + x) \sim x\)
8. \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
9. \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)

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函数极限定义

\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 当 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 时，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)

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数列极限数列极限

n为自然数， n→\(\infty\),专指n→+\(\infty\),而略去"+"不写

\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 当 n>N时，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)

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极限的性质

唯一性、局部有限性、局部保号性

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极限的唯一性

\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则A唯一\)

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极限的局部有限性

$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则 \exists M>0, \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta时,恒有|f(x)|< M $

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极限的局部保号性

\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)>0\)

\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)<0\)

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函数极限计算三板斧

• 等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。

• 这个顺序来源于杨超。

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七种不定形

• \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
  
  【注】 0不是真的0， 1不是真的1

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洛必达法则

• 若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0,
  \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\),
  
  则\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\)

• 隐含条件：f(x), g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在

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数列极限运算法则

1. 若\(x_{n}\)易于连续化，转化为函数极限计算
   
   依据：
   
   \(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 则\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\)
2. 若\(x_{n}\)不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）
3. 若\(x_{n}\)由递推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”
   
   \(给出 x_{n},若 x_{n} 单增且有上界或者单减且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收敛\)

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二、连续与间断

夹逼准则

它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

设\(I\)为包含某点\(a\)的区间，\(f,g,h\)为定义在\(I\)上的函数。若对于所有属于\(I\)而不等于\(a\)的\(x\)，有：

\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；则\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。

\(g(x)\)和\(h(x)\)分别称为\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于\(x \to \infty\)，这个定理还是可用的。

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极限的连续与间断的基本常识

任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：

• 分段函数的分段点（可能间断）

• 无定义点（必然间断）

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连续的定义

• \(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 则f(x)称在x=x_{0}处连续\)
• Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才连续\)

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有界性定理

设f(x)在[a,b]连续，则：

\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)

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最值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：

\(当m\leq \mu \leq M时，其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小最大值\)

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介值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：

\(当m\leq \mu \leq M时，则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)

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零点定理

设f(x)在[a,b]连续，则：

\(当f(a) \cdot f(b)<0时，则\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)

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间断的定义

• \(设f(x)在 x=x_{0}点的某去心领域有定义\)
  1. ️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
  2. ️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
  3. ️ \(f(x)\)

1. 第一类间断点 ️ ️ 均存在，且

   1. ️\(\neq\) ️: \(x_{0}\)为跳跃间断点
   2. ️ = ️ \(\neq\) ️: \(x_{0}\)为可去间断点

2. 第二类间断点 ️ ️ 至少一个不存在（目前为止考研只考了 ️ ️均不存在）

   1. 若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)无穷间断点
   2. 若不存在 = 震荡 \(\Rightarrow\) 震荡间断点

【Note】

1. 单侧定义不讨论间断性
2. 若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论

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