[置顶] hdu2815 扩展Baby step,Giant step入门

题意：求满足a^x=b(mod n)的最小的整数x。

分析：很多地方写到n是素数的时候可以用Baby step,Giant step, 其实研究过Baby step,Giant step算法以后，你会发现  它能解决    “n与a互质”的情况，而并不是单纯的n是素数的情况。如果a与n不是互质的，那么我们需要处理一下原方程，让a与n互质，然后再用Baby step,Giant step解出x即可。

Baby step,Giant step算法思想：对于a与n互质，那么则有a^phi(n)=1(mod n),   对于n是素数phi(n) == n-1, 否则phi(n) < n-1, 所以x的取值只要在0----n-2之中取就可以了。

当n很小时，可以直接枚举，但当n很大时，肯定会超时，Baby step,Giant step就是用了一种O(sqrt(n)*log(n))的方法枚举了所有的0-----n-2。令m = sqrt(n);

我们可以预处理出a^0,a^1,.........a^m,都放入哈希表中, 然后  (a^m)^i+v(哈希表里的其中一个值)就一定是解，每次枚举i(0-----m-1),计算出v,判断v是否出现在哈希表中，如果有就是解。  对于m为什么取sqrt(n)是为了复杂度的平衡，这一点是跟分块算法很相似的。

对于a与n不互质的情况分析：令 t = gcd(a,n)，那么a与n都约去t，当然b也要约去t(不能约去就无解)，约去一个t以后方程就变为   aa*a^(x-1) = bb(mod nn), (其中  aa = a/t    bb = b/t    nn = n/t) , 这里nn还可能与a不互质，那么我们一直拿出一个新的a对(a, bb, nn)约去t，直到a与nnn....(nnn...表示约去若干次t以后的n)互质。以下用(用三个字母表示约去若干次后,如bbb) 则结果为aa^c*a^(x-c) = bbb(mod nnn),      我们让等式左右分别乘以aa^c关于nnn的逆元       变为a^(x-c) = w    (mod  nnn) ,    w =bbb *(aa^c)^(-1)。   a^x = w  (mod n)可以用bbb *(aa^c)^(-1)Baby step,Giant step直接求出，如果有解那把未知数+c。

具体看代码中的cal函数。

注意：在以上过程中x有可能<c，所以我们必须每约去一个t就要特判一下当前情况aa 与 bb就说明当前c是解。

哈希表实现看题目时间要求，map太慢，自己手写hash是很快的。

map哈希

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
    } else {
        ex_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
    }
}
inline ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    ex_gcd(a, n, x, y);
    return (x + n) % n;
}
ll log_mod(ll a, ll b, ll n) {
    ll m, e;
    int i;
    m = sqrt(n + 0.5);
    map<ll, ll> f;
    f[1] = 0;
    e = 1;
    for (i = 1; i < m; i++) {
        e = e * a % n;
        if (!f.count(e))
            f[e] = i;
    }
    e = e * a % n;
    e = inv(e, n);
    for (i = 0; i < m; i++) {
        if (f.count(b))
            return i * m + f[b];
        b = b * e % n;
    }
    return -1;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll cal(ll a, ll b, ll n) {
    ll t, c = 0, v = 1;
    while ((t = gcd(a, n)) != 1) {
        if (b % t)
            return -1;
        n /= t;
        v = v * a / t % n;
        b /= t;
        c++;
        if (b == v)
            return c;
    }
    //printf("a = %I64d b = %I64d c = %I64d v = %I64d\n", a, b, c, v);
    b *= inv(v, n);
    b %= n;
    ll ret = log_mod(a, b, n);
    return ~ret ? ret + c : ret;
}
int a, b, n;
int main() {
    while (~scanf("%d%d%d", &a, &n, &b)) {
        if (b >= n) {
            printf("Orz,I can’t find D!\n");
            continue;
        }
        if (b == 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans = cal(a, b, n);
        if (ans == -1)
            printf("Orz,I can’t find D!\n");
        else
            printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

手写hash

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100007;
struct hash {
	int n;
	struct Edge {
		int p, v;
		int next;
	}edge[maxn*7];
	int head[maxn+10], E;
	void init(int n) {
		this->n = n;
		memset(head, -1, sizeof(int)*(n+1));
	}
	void add(int p, int v) {
		int s = p%n;
		edge[E].p = p;
		edge[E].v = v;
		edge[E].next = head[s];
		head[s] = E++;
	}
	int get(int p) {
		int s = p%n;
		for(int i = head[s]; ~i; i = edge[i].next) {
			if(edge[i].p == p) return edge[i].v;
		}
		return -1;
	}

}f;
void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
    } else {
        ex_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= a / b * x;
    }
}
inline ll inv(ll a, ll n) {
    ll x, y;
    ex_gcd(a, n, x, y);
    if(x < 0) x += n;
    return x;
}
ll log_mod(ll a, ll b, ll n) {
    ll m, e;
    int i;
    m = sqrt(n + 0.5);
    f.init(10007);
    f.add(1, 0);
    e = 1;
    for (i = 1; i < m; i++) {
        e = e * a % n;
        if (f.get(e) == -1) f.add(e, i);
    }
    e = e * a % n;
    e = inv(e, n);
    for (i = 0; i < m; i++) {
    	int t = f.get(b);
        if (~t)
            return i * m + t;
        b = b * e % n;
    }
    return -1;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll cal(ll a, ll b, ll n) { //扩展函数
    ll t, c = 0, v = 1;
    while ((t = gcd(a, n)) != 1) {
        if (b % t)
            return -1;
        n /= t;
        b /= t;
        v = v * a / t % n;
        c++;
        if (b == v) return c;
    }
    b = b*inv(v, n)%n;
    ll ret = log_mod(a, b, n);
    return ~ret ? ret + c : ret;
}
int a, b, n;
int main() {
    while (~scanf("%d%d%d", &a, &n, &b)) {
        if (b >= n) {
            printf("Orz,I can’t find D!\n");
            continue;
        }
        if (b == 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans = cal(a, b, n);
        if (ans == -1)
            printf("Orz,I can’t find D!\n");
        else
            printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}