【DP】 路面修整 usaco 2008 feb_gold

题目描述：

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FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能同时出现在修好的路中。

整条路被分成了N段，N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为：

|A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N|

请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出不会超过2^31-1。

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题目大意：给出一个数列，让你把它修改为一个不上升或不下降序列，使得修改的费用尽量少。修改的费用定义为：修改后与修改前的值之差的绝对值。

因为不上升就是倒序+不下降，所以只用考虑不下降就行了。首先将数组从小到大排序为s，用f[i][j]表示前i个数都满足条件的情况下第i个数修改为s[j]的最小费用。则状态转移方程为 f[i][j] = min{ f[i-1][k] + abs(s[k]-num[i]) | j <= n }。然而这样时间复杂度是O(n^3)，因此需要改变一下策略。

用f[i][j]表示前i个数都满足条件的情况下第i个数小于等于s[j]的最小费用。则状态转移方程为 f[i][j] = min{ f[i][j-1] , f[i-1][j] + abs(s[j]-num[i]) }。时间复杂度就被降到了O(n^2)。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int inf = (1 << 30);

int n, a[2005], b[2005], s[2005], f[2005][2005], ans;

void dp(int *A) {
	memset(f, 0, sizeof f);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if(j == 1)
				f[i][j] = f[i-1][j] + abs(A[i] - s[j]);
			else
				f[i][j] = min(f[i][j-1], f[i-1][j] + abs(A[i] - s[j]));
			if(i == n) ans = min(ans, f[i][j]);
		}
	}
}

int main () {

	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &a[i]), s[i] = a[i], b[n - i + 1] = a[i];
	sort(s + 1, s + n + 1);
	ans = inf; dp(a); dp(b);
	printf("%d\n", ans);
}