#C++初学记录（算法效率与度量）

时间性能

**算法复杂性函数：

\[ f(n)=n^2 +1000n+\log_{10}n+1000 $$**
当n的数据规模逐渐增大时，f(n)的增长趋势：

* 当n增大到一定值以后，计算公式中影响最大的就是n的幂次级最高的项，并且其他的常数项和低幂次项都可以忽略，我们更关注的是它是一个什么量级的算法，是线性的还是n方的，还是指数级的。

<font size=4 face="微软雅黑">**大O表示法**
* 函数f、g定义域为自然数，值域为非负实数集
* **定义：**如果存在正数c和$n_0$，使得对任意的$$ n \geq n_0 $$ 都有$$ f(n) \leq cg(n)。\]

• 称f(n)在集合O(g(n))中，简称f(n)是O(g(n))的，或f(n)=O(g(n))。
• 大O表示法：表达函数增长率上限

• 一个函数增长率的上限可能不止一个

• 大O表示法不关心小范围的（n较小）的特例。

大O表示法的单位时间

• 一个简单的布尔或算数运算 - O(1)
• 简单I/O
  • 指函数的输入/输出
    
    例如：从数组读取数据等操作
  • 不包括键盘文件等I/O
• 函数返回

大O表示法的运算规则

• 加法规则： $$f_1(n)+f_2(n)=O(max(f_1(n),f_2(n)))$$
  
  （ 最耗时的那一段。）
• 乘法规则： $$ f_1(n)·f_2(n)=O(f_1(n)·f_2(n)) $$
  
  (适用于while、for等循环结构）
  • 顺序结构，if结构，swith结构

for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
       k++;

嵌套循环中第一个和第二个for都是O(n)的时间复杂度，两者的乘积是：

\[\sum{n-1 \atop i=0}(n-i)=\frac{n(n-1)}{2}=O(n^2)
\]

算法渐进分析：大\(\Omega\)表达式

• 定义：如果存在正数c和\(n_0\)，使得对所有n\(\geq n_0\)，都有f(n)\(\geq\)cg(n)，
  
  则称f(n)在集合\(\Omega\)(g(n))中，或f(n)=\(\Omega\)(g(n))
• 大O表示法和大\(\Omega\)表示法的唯一区别在于不等式的方向
• 采用大\(\Omega\)表示法时，最好找出在函数增值率的所有下限中那个最“紧”（即最大）的下界

增长率大小比较：$$\log_2n \leq n \leq n \log_2n \leq n^2 \leq 2^n$$

算法复杂性分析

例：顺序寻找k值

• 顺序从一个规模为n的一维数组中找出一个给定的k值
• 最佳情况 O(1)
  • 数组的第一个元素就是k值
  • 只需要检查第一个元素
• 最差情况 O(n)
  • 数组的最后一个才是k
  • 检查数组中所有的n个元素
• 如果等概率分布 O(n)
  • k值出现在n个位置上的概率都是1/n
• 概率不等
  • 出现在第一个位置的概率为1/2
  • 出现在第二个位置上的概率为1/4
    
    -出现在其他位置的概率都是$ \frac {1-1/2-1/4}{n-2} $