UOJ#401. 【CTSC2018】青蕈领主 分治,FFT

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题解

首先，对于一个排列，它的连续段一定只有包含关系，没有相交关系。

我们可以据此得到一棵表示连续段的树。

对于一个连续段节点，它有若干儿子。

由于它的每一个儿子都是连续段，所以我们可以将这些儿子各自看作一个数。设节点x的度数为 d[x]。

设 f[x] 表示 L 数组为 1,1,1,...1,L+1 这样的排列个数，那么答案就是 $\prod f[d[x]]$ 。

然后我们得到了一个关于 f[x] 的迷之式子：

$$f[i] = (i-1) \cdot f[i-1]  + \sum_{j=2}^{i-2} (j-1) \cdot f[j] \cdot f[i-j]$$

然后我们考虑对这个东西做分治FFT来求。

这个分治 FFT 的大致流程如下：

求解区间 [L,R] 时，如果 L = R，那么分治结束。

否则，设 mid = (L+R)/2，先 solve(L,mid) 。

然后考虑计算 [L,mid] 对 [mid+1,R] 的贡献。

这时需要分类讨论：

若 L = 1，那么直接 FFT

若 L > 1，那么需要计算两部分贡献：

　　1.  $j\in [2,R-L],i-j\in[L,mid]$

　　2.  $i-j\in [2,R-L], j\in[L,mid]$

各自FFT即可。

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof x)
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define fi first
#define se second
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outtag(x) puts("---------------"#x"---------------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d..%d] = ",L,R);\
						For(_x,L,R)printf("%d ",a[_x]);puts("")
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=1<<17,mod=998244353;
int Pow(int x,int y){
	int ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
		if (y&1)
			ans=(LL)ans*x%mod;
	return ans;
}
void Add(int &x,int y){
	if ((x+=y)>=mod)
		x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
	if ((x-=y)<0)
		x+=mod;
}
int Del(int x){
	return x<0?x+mod:x;
}
namespace fft{
	int w[N],R[N];
	void init(int n){
		int d=0;
		while ((1<<d)<n)
			d++;
		For(i,0,n-1)
			R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
		For(i,2,n-1)
			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
	}
	void FFT(int *a,int n,int flag){
		if (flag<0)
			reverse(w+1,w+n);
		For(i,0,n-1)
			if (i<R[i])
				swap(a[i],a[R[i]]);
		for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
			for (int i=0;i<n;i+=d<<1)
				for (int j=0;j<d;j++){
					int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod;
					a[i+j+d]=Del(a[i+j]-tmp);
					Add(a[i+j],tmp);
				}
		if (flag<0){
			reverse(w+1,w+n);
			int inv=Pow(n,mod-2);
			For(i,0,n-1)
				a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
		}
	}
}
using fft::FFT;
namespace pre{
	int f[N];
	int a[N],b[N];
	void solve(int L,int R){
		if (L==R){
			f[L]=((LL)f[L-1]*(L-1)+f[L])%mod;
			return;
		}
		int mid=(L+R)>>1;
		solve(L,mid);
		if (L>1){
			int n=1;
			while (n<(mid-L+1)+(R-L))
				n<<=1;
			fft::init(n);
			memset(a,0,n<<2),memset(b,0,n<<2);
			For(i,L,mid)
				a[i-L]=f[i];
			For(i,2,R-L)
				b[i]=(LL)(i-1)*f[i]%mod;
			FFT(a,n,1),FFT(b,n,1);
			For(i,0,n-1)
				a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
			FFT(a,n,-1);
			For(i,mid+1,R)
				Add(f[i],a[i-L]);
			memset(a,0,n<<2),memset(b,0,n<<2);
			For(i,L,mid)
				a[i-L]=(LL)(i-1)*f[i]%mod;
			For(i,2,R-L)
				b[i]=f[i];
			FFT(a,n,1),FFT(b,n,1);
			For(i,0,n-1)
				a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
			FFT(a,n,-1);
			For(i,mid+1,R)
				Add(f[i],a[i-L]);
		}
		else {
			int n=1;
			while (n<mid*2+1)
				n<<=1;
			memset(a,0,n<<2),memset(b,0,n<<2);
			For(i,2,mid)
				a[i]=f[i];
			For(i,2,mid)
				b[i]=(LL)(i-1)*f[i]%mod;
			fft::init(n);
			FFT(a,n,1),FFT(b,n,1);
			For(i,0,n-1)
				a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
			FFT(a,n,-1);
			For(i,mid+1,R)
				Add(f[i],a[i]);
		}
		solve(mid+1,R);
	}
	void prework(int n){
		f[0]=1,f[1]=2;
		solve(1,n);
//		For(i,2,n){
//			f[i]=(LL)f[i-1]*(i-1)%mod;
//			For(j,2,i-2)
//				Add(f[i],(LL)(j-1)*f[j]%mod*f[i-j]%mod);
//		}
		//1 2 2 4 16 88 600 4800 43680 443296 4949920 60217408 792134528
	}
}
int T,n;
int a[N];
void Solve(){
	For(i,1,n)
		a[i]=read();
	if (a[n]!=n)
		return (void)(puts("0"));
	int ans=1;
	For(i,1,n){
		int c=0,j;
		for (j=i-1;j>i-a[i];j-=a[j])
			c++;
		if (j<i-a[i])
			return (void)(puts("0"));
		ans=(LL)ans*pre::f[c]%mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	pre::prework(50000);
	T=read(),n=read();
	while (T--)
		Solve();
	return 0;
}