CQOI2018 九连环 打表找规律 fft快速傅里叶变换

题面：

　　CQOI2018九连环

分析：

　　个人认为这道题没有什么价值，纯粹是为了考算法而考算法。

　　对于小数据我们可以直接爆搜打表，打表出来我们可以观察规律。

　　f[1~10]: 1 2 5 10 21 42 85 170 341 682

　　我们可以发现的规律是，当i为奇数时，f[i]=f[i-1]*2+1，偶数时f[i]=f[i-1]*2。

　　既然这样，我们可以推断通项公式是否跟2的次幂有关。

　　我们连蒙带猜连导带推，可以得出，f[i]=2^(i+1)/3（下取整）。

　　再结合数据范围，我们可以决定是写fft+快速幂还是写python

　　这样这道题就结束了。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define db double
 #define ll long long
 #define cp complex<db>
 using namespace std;
 const int N=;
 const db pi=acos(-);int r[N];
 void fft(cp *a,int *r,int lm,int op){
     for(int i=;i<lm;i++)
     if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
     for(int mid=;mid<lm;mid<<=){
         cp wn;wn=cp(cos(pi/mid),op*sin(pi/mid));
         for(int R=mid<<,j =;j<lm;j+=R){
             cp w;w=cp(,);
             for(int k=;k<mid;k++,w=w*wn){
                 cp x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                 a[j+k]=x+y;a[j+mid+k]=x-y;
             }
         }
     } return ;
 } struct big{
     int g[N],len;
     big(){
         memset(g,,sizeof(g));len=;
     } big(int x){
         memset(g,,sizeof(g));len=;
         if(!x){len=;return ;}
         while(x) g[len++]=x%,x/=;
     } void operator *=(const big &b){
         static cp A[N],B[N];
         int nl=len+b.len,lm=,L=;
         while(lm<nl) lm<<=,++L;
         for(int i=;i<lm;i++)
         A[i]=cp(i<len?g[i]:,),
         B[i]=cp(i<b.len?b.g[i]:,);r[]=;
         for(int i=;i<lm;i++)
         r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
         fft(A,r,lm,);fft(B,r,lm,);
         for(int i=;i<lm;i++) A[i]*=B[i];
         fft(A,r,lm,-);int ans[N];
         for(int i=;i<lm;i++)
         ans[i]=(int)(A[i].real()/lm+0.5);
         for(int i=;i<lm;i++)
         if(ans[i]>) ans[i+]+=ans[i]/,
         ans[i]%=;lm--;
         while(lm>&&!ans[lm]) lm--;len=++lm;
         for(int i=;i<lm;i++) g[i]=ans[i];
     } void operator /= (int x){
         int sm=,nl=;
         for(int i=len-;~i;i--){
             sm=sm*+g[i];
             if(sm<x) g[i]=;
             else{
                 if(!nl) nl=i+;
                 g[i]=sm/x,sm%=x;
             }
         } len=max(nl,);
     } void print(){
         for(int i=len-;~i;i--)
         printf("%d",g[i]);puts("");
     }
 }ret,bs;
 int main(){
     int t;scanf("%d",&t);while(t--){
         int n;scanf("%d",&n);n++;
         ret=big();bs=big();
         while(n){
             if(n&) ret*=bs;
             bs*=bs;n>>=;
         } ret/=;ret.print();
     } return ;
 }

fft快速傅里叶变换