【bzoj4804】欧拉心算 欧拉函数

题目描述

给出一个数字N

输入

第一行为一个正整数T，表示数据组数。

接下来T行为询问，每行包含一个正整数N。

T<=5000,N<=10^7

输出

按读入顺序输出答案。

样例输入

1
10

样例输出

136

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题解

欧拉函数

其中用到了$\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^k[\gcd(i,j)=1]=2\sum\limits_{i=1}^k\varphi(i)-1$

这个推导很简单：由欧拉函数的定义，$\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^i[\gcd(i,j)=1]=\sum\limits_{i=1}^k\varphi(i)$，此时$i\ge j$，而当$i\le j$时情况相同。最后减掉重复计算的(1,1)即为左边。

然后剩下的就好说了，预处理欧拉函数$\varphi$和其前缀和$sum$，分块枚举$\lfloor\frac nd\rfloor$的取值并计算即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 10000010
typedef long long ll;
const int m = 10000000;
int prime[N] , tot , phi[N];
ll sum[N];
bool np[N];
int main()
{
	int i , j , t , n , last;
	ll ans;
	sum[1] = phi[1] = 1;
	for(i = 2 ; i <= m ; i ++ )
	{
		if(!np[i]) phi[i] = i - 1 , prime[++tot] = i;
		for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= m ; j ++ )
		{
			np[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
			{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
		sum[i] = sum[i - 1] + phi[i];
	}
	scanf("%d" , &t);
	while(t -- )
	{
		scanf("%d" , &n) , ans = 0;
		for(i = 1 ; i <= n ; i = last + 1) last = n / (n / i) , ans += (sum[last] - sum[i - 1]) * sum[n / i];
		printf("%lld\n" , 2 * ans - sum[n]);
	}
	return 0;
}