[CQOI2014]数三角形 组合数 + 容斥 + gcd

推导过程 ： 组合数+容斥原理+gcd

正确做法是暴力的一种优化，ans=所有情况 - 平行坐标轴的三点共线 - 斜线三点共线

如果快速求斜线三点共线：

首先要知道一个结论，对于点(a,b) (x,y)连成的线段而言(其中a>x,b>y)，

在它们中间有gcd(a-x,b-x)-1个整点，因此基本的思路就是枚举两个点，

然后第3个点就是gcd(a-x,b-x)-1种可能了

至于为什么第3个点一定要在中间，是为了保证不重不漏，只用两边的点统计中间的点，

然而这样复杂度太高，于是可以发现，可以将这两个点组成的线段中左下那个端点平移至原点，

这样相当于只要枚举一个点，并且由于要考虑k<0的情况，因为矩形是有对称性的，

所以要求原点+一个点 与 (0,m)+一个点 的和就可以直接2 *（原点+一个点）

由于长的一样的线有很多，于是问题就转化为如果求这些一样的线的个数，

那么可以发现，这样任意一条线，向上只能平移(n - i)，向下(m - j)次，

所以可能性就为(n - i + 1) * (m - j + 1),其中+1是因为可以向上移动0个单位

但由于这里n,m一开始就加了1，所以这个式子就不用+1了

因此枚举每个点即可

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define LL long long
 LL n,m,ans,go;

 int gcd(int x,int y)
 {
     if(!y) return x;
     else return gcd(y,x%y);
 }

 void work()
 {
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     ++n,++m;//因为是一个网格，所以真正的坐标系其实有(n+1,m+1)
     go=n*m;
     ans=go * (go - ) * (go - ) /  - n * m * (m - ) * (m - ) /  - m * n * (n - ) * (n - ) / ;//记得除掉取出数列的全排列
     for(R i=; i<n ;i++)//因为是取了原点，所以相当于坐标系是从0开始了
         for(R j=; j<m ;j++)//枚举这个点
             ans-=(LL) * (LL)(gcd(i,j) - ) * (LL)(n - i) * (LL)(m - j);
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main()
 {
     freopen("in.in","r",stdin);
     work();
     fclose(stdin);
     return ;
 }