组合数学or not ---- n选k有重

模板问题:

1. 取物品 (comb.pas/c/cpp)

【问题描述】 现在有n个物品（有可能相同），请您编程计算从中取k个有多少种不同的取法。
【输入】 输入文件有两行，第一行包含两个整数n,k(2<=n<=30,0<=k<=n)。第二行，包含n个整数表示物品的编号（范围1..1000）。编号相同的物品看作同一种物品。

想想看,组合数学中有这样的模型吗?答案是,肯定会有的.但是因为这个问题的灵活性,还没有通项公式.

想象当每个数都不同时,这个问题就变成了${n \choose k}$(即$\text{C}^{k}_{n}$).如果只有一种物体呢?显然是$1$种可能.每种物体都大于等于$k$?就是$n^k$,因为k次选择每次都可以选$1~n$.

但是这里是一般化的情况:(RT)

自然,对于这个数据搜索只能勉强卡过.那么递推呢?递推一般对于解决排列解决问题很有用.那么我们设

$f\left[ i,p\right]$为前i种选p个的方案数,那么

$f[i,p]=\sum_{k=0}^{\text{min}\left( N[i],p\right)}f[i-1,p-k]\text{ while here }p\le \sum_{j=1}^{i}N[j]$

初始状态$\forall i \in [1,n],f[i,0]=1$(这个很重要)

自然,我们可以用滚动数组优化空间,因为所有$f[i,k]$只与$f[i-1,d]$有关,且$d\le k$,这时可以用类似于优化背包问题的办法.这个时间复杂度为$\text{O}\left( nkp\right)$但是注意这里$p$会比$n$大很多.

再考虑优化.注意到sum是连续的,即可用前缀和优化.那么时间复杂度小了一个$p$.