C++生成完全二叉树

C++生成完全二叉树

2019-12-20

By Gauss

1.背景介绍

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

2.特点：

叶子结点只可能在最大的两层上出现,对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1；

出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储,其存储结构如下:

var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}

对于tree[i]，有如下特点：

（1）若i为奇数且i>1，那么tree的左兄弟为tree[i-1]；

（2）若i为偶数且i<n，那么tree的右兄弟为tree[i+1]；

（3）若i>1，tree的父亲节点为tree[i/2]；

（4）若2*i<=n，那么tree的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree的右孩子为tree[2*i+1]；

（5）若i>n div 2,那么tree[i]为叶子结点（对应于（3））；

（6）若i<(n-1) div 2.那么tree[i]必有两个孩子（对应于（4））。

（7）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

完全二叉树第i层至多有2^（i-1）个节点，共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。

完全二叉树的特点是：

1）只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现；

2）对任一结点，如果其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1。 即度为1的点只有1个或0个

3.性质

如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，这棵二叉树称为完全二叉树。

可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，则 ：

①n= n0+n1+n2 （其中n为完全二叉树的结点总数）；又因为一个度为2的结点会有2个子结点，一个度为1的结点会有1个子结点，除根结点外其他结点都有父结点，

②n= 1+n1+2*n2 ；由①、②两式把n2消去得：n= 2*n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。

简便来算，就是 n0=n/2，其中n为奇数时（n1=0）向上取整；n为偶数时（n1=1）向下取整。可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

4.代码实现

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int a[];
 int buildtree(int n)
 {
     memset(a,-,sizeof(a));
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=i;
 }
 int firsts(int n)
 {
     if(a[n]==-) return ;
     printf("%d ",a[n]);
     firsts(a[n]*);
     firsts(a[n]*+);
 }
 int main()
 {
     int T;
     int n,m;
     cin>>T;
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         buildtree(n);
         firsts();
     }
     return ;
 }

知识来源：百度百科