JZOJ5857 【NOIP提高组模拟A组2018.9.8】没有上司的舞会

题目

Description

“那么真的有果尔德施坦因这样一个人?”他问道。

“是啊，有这样一个人，他还活着。至于在哪里，我就不知道了。”

“那么那个密谋——那个组织?这是真的吗?不是秘密警察的捏造吧?”

“不是，这是真的。我们管它叫兄弟会。除了它确实存在，你们是它的会员以外，你们 就别想知道别的了。”

他知道的是，这种思想一定会一代一代地传下去，他们一定能够在没有黑暗的地方再会。

他不知道的是，兄弟会已经走到了崩溃的边缘；思想警察早已无孔不入；那没有黑暗的地方， 是友爱部，是 101 室……

兄弟会的头目之一，爱麦虞埃尔•果尔德施坦因，正在谋划着一场无力的反抗。这抗争的内容，竟是一场宏大的舞会。（这作为小资情调、腐朽没落的代表，以及未经允许的群众运动， 是大洋国严格禁止的（甚至是 crimethink））这也是为了加强组织的团结，并且为那终将到来的最后一战而激励、鼓舞士气。

众所周知，兄弟会为了避免思想警察的追捕，保密措施相当严密。会内一位高级干部奥勃良如此说：“从你们切身经验来说，你们永远连十来个会员也不认识。”（注意：测试数据可能不符合这句话）具体来说，每个人只认识他的全部上司。一个人的上司要么是他的直接上司

（在输入中会向你给出，并且可能不止一人），要么是这个人的某个上司的直接上司。为了增进同志之间的感情，同时为了防止渗入兄弟会的间谍破获整个组织的组成与结构，果尔德 施坦因想要确保在舞会中任意两个人都互不相识。

真理部的外围党员温斯顿在奥勃良的介绍下加入了兄弟会。他刚刚知道了这个激动人心的舞 会，仿佛又感受到了那若有若无的、来自旧时代的温暖。因为参与舞会的人越多，他与他亲爱的裘莉亚就越有可能重逢，所以他很好奇最多能有多少人参与。

Input

第一行两个正整数 N，M，表示兄弟会的会员人数以及关系数。然后 M 行，每行 2 个正整数 x,y（1<=x,y<=N,x≠y），表示 x 是 y 的直接上司（即 y 是 x 的直接下属）。

Output

输出一行一个整数，表示参加舞会的最多人数。

Sample Input

4 4

1 2

2 4

1 3

3 4

Sample Output

2

Data Constraint

对于 5%数据，满足 n<=5。

对于 20%数据，满足 n<=20。

对于另 10%数据，满足会员构成一棵外向树，即：除了一号会员（即果尔德施坦因本人）之外的每个会员，恰好只有一个上司，且一号会员没有上司。

对于另 10%数据，满足会员构成一颗内向树，即：除了一号会员（即温斯顿）之外的每个会员，恰好只有一个直接下属，且一号会员没有下属。

对于另 30%数据，满足每个会员要么没有上司，要么没有下属。

对于 100%数据，满足 n<=200，关系不会重复出现，且不会自相矛盾（即 A 既是 B 的上司也是 B 的下属）。换句话说，关系构成了一张无重边的有向无环图。保证图联通。

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做法

显然，这是一个有向无环图。

对于每一条有向边(u,v)" role="presentation">(u,v)(u,v)，表示v" role="presentation">vv是u" role="presentation">uu的的上司。

题目要让我们在图上找到尽量多的点，使得这些点不能互相到达。

咋做？

题解上这样说：

在有向无环图中，我们定义：

链：图上一些点的集合，对于链上任意两个点 x、y，满足 x 能到达 y 或者 y

能到达 x。

反链：图上一些点的的集合，对于反链上任意两个点 x、y，满足 x 不能到达

y 并且 y 不能到达 x。

所以就是很显然的求最长反链长度了~

有以下 Dilworth 定理：

最长反链长度=最小链覆盖（选取最少的链覆盖所有的点）

这是题解上话，然后我上网找这条定理的证明，结果……证明很少，并且好几篇博客是一个样子，而且让我一脸懵逼，甚至感觉那证明还是错的……

于是，只能感性理解。

假设用一些链来覆盖整张图。

对于每个反链上的点，它们各自在一条链上。

如果这些链的数量大于最小链覆盖，那么多出来的那些都是废的，会出现两个反链上的点能连通，与题目不符……

好吧，感性理解这种东西是不方便用语言来说的。

现在假设我们已经知道了这个定理。

接下来可以用二分图匹配来解决：

将每个点拆成左右两边（实现时不需要）。

对于一条边(u,v)" role="presentation">(u,v)(u,v)，就在二分图上uleft" role="presentation">uleftuleft和vright" role="presentation">vrightvright连一条有向边。

跑一遍二分图匹配，那么答案就是n−最大匹配数" role="presentation">n−最大匹配数n−最大匹配数。

Why?

在二分图，连一条边，可以视为将两条链合并，也就是将最小链覆盖数−1" role="presentation">−1−1。

拆成二分图，避免路径相交的问题。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 200
int n,m;
bool to[MAXN+1][MAXN+1];//表示是否连通
int be[MAXN*2+1];
bool vis[MAXN+1];
bool matching(int);
int main(){
    freopen("dance.in","r",stdin);
    freopen("dance.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        to[v][u]=1;
    }
    //要用Floyed来处理处连通性
    for (int k=1;k<=n;++k)
        for (int i=1;i<=n;++i)
            for (int j=1;j<=n;++j)
                to[i][j]|=to[i][k]&&to[k][j];
    int max_matching=0;
    for (int i=1;i<=n;++i){
        memset(vis,0,sizeof vis);
        if (matching(i))
            max_matching++;
    }
    printf("%d\n",n-max_matching);
    return 0;
}
bool matching(int x){
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (to[x][i] && !vis[i]){
            vis[i]=1;
            if (!be[i] || matching(be[i])){
                be[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}

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总结

这题好打是好打，就是理解得迷迷糊糊的。

感性理解还是很重要的……