CDQ分治笔记+例题

CDQ分治是一种离线分治算法，它基于时间顺序对操作序列进行分治。

看这样一个问题： 在一个三维坐标系中，有若干个点，每个点都有对应的坐标 \((X_i , Y_i , Z_i)\) ，我们要对于每个点求所有满足 \(X_j <=X_i, Y_j <= Y_i , Z_j <= Z_i\) 的 j 的数量。

考虑在二维平面上怎么做：我们可以将所有点按照 X 坐标排序，再用一个树状数组或者其他数据结构维护 Y 坐标，每次读到一个点就统计答案，然后将这个点加入树状数组。这样可以同时保证 X，Y 坐标都满足条件。

如果这时再多一维，我们就没办法再用这种方法排序了，按照一维排序必然会打乱另外两维。这时我们考虑CDQ分治，先按 X 坐标排序，然后对序列进行分治，每次分出左右两段子序列，这时我们可以发现，左序列中每个点的 X 坐标小于右序列中点的 X 坐标，这时分别将左右序列按照 Y 坐标排序。统计答案时，只更新右序列中点的答案，只在树状数组中加入左序列的点。

模版： P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 200005;
int C[M], n, maxk, nn, ans[N];
struct node {
	int a, b, c, tot, num;
} e[N];
int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}
void add(int x, int k) {
	for(; x <= maxk; x += lowbit(x)) C[x] += k;
}
int query(int x) {
	int answ = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x)) answ += C[x];
	return answ;
}
bool cmp1(node x, node y) {
	if(x.a == y.a && x.b == y.b) return x.c < y.c;
	if(x.a == y.a) return x.b < y.b;
	return x.a < y.a;
}
void cdq(int l, int r) {
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(l != mid) cdq(l, mid);
	if(mid + 1 != r) cdq(mid + 1, r);
	node p[N];
	int pt = 0, i = l, j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= r) {//对于第二维归并排序
		if(e[i].b <= e[j].b) add(e[i].c, e[i].tot), p[++pt] = e[i++];//插入
		else e[j].num += query(e[j].c), p[++pt] = e[j++];//更新答案
	}
	while(i <= mid) add(e[i].c, e[i].tot), p[++pt] = e[i++];
	while(j <= r) e[j].num += query(e[j].c), p[++pt] = e[j++];
	for(int t = l; t <= mid; t++) add(e[t].c, -e[t].tot);//树状数组清空
	for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) e[u] = p[t];//更新序列
}
int main() {
//	freopen("data.in", "r", stdin);
	scanf("%d%d", &nn, &maxk);
	for(int i = 1, a, b, c; i <= nn; i++) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		e[i].a = a, e[i].b = b, e[i].c = c;
		e[i].num = 0; e[i].tot = 1;
	}
	sort(e + 1, e + 1 + nn, cmp1);//先按照第一维排序
	n = 1;
	for(int i = 2; i <= nn; i++) {
		if(e[i].a == e[n].a && e[i].b == e[n].b && e[i].c == e[n].c) e[n].tot++;
		else e[++n] = e[i];
	}
	cdq(1, n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		ans[e[i].num + e[i].tot - 1] += e[i].tot;
	}
	for(int i = 0; i < nn; i++) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}

例题1 : P3157 [CQOI2011]动态逆序对

考虑如和将其转化为三维偏序问题，我们要计算删除一个点对答案对贡献，即删除的这个点左边比它大的点的数量和右边比他小的点的数量，这样三维分别是删除顺序，序列中位置，元素大小。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long lld;
const int N = 100005;
const int M = 50005;
int n, m, pos[N], ansper[N], ansnxt[N];
struct node {
   int x, y, type;
} e[N], a[N];
int C[N];
int lowbit(int x) {
   return x & -x;
}
void add(int x, int k) {
   for(; x < N; x += lowbit(x)) C[x] += k;
}
int query(int x) {
   int summ = 0;
   for(; x; x -= lowbit(x)) summ += C[x];
   return summ;
}
void cdq_per(int l, int r) {
   if(l == r) return ;
   int mid = (l + r) >> 1;
   cdq_per(l, mid); cdq_per(mid + 1, r);
   node p[N];
   int i = l, j = mid + 1, pt = 0;
   while(i <= mid && j <= r) {
   	if(e[i].x <= e[j].x) add(e[i].y, 1), p[++pt] = e[i++];
   	else {
   		if(e[j].type == 0) p[++pt] = e[j++];
   		else ansper[e[j].type] += query(N - 1) - query(e[j].y), p[++pt] = e[j++];
   	}
   }
   while(i <= mid) add(e[i].y, 1), p[++pt] = e[i++];
   while(j <= r) {
   	if(e[j].type == 0) p[++pt] = e[j++];
   	else ansper[e[j].type] += query(N - 1) - query(e[j].y), p[++pt] = e[j++];
   }
   for(int k = l; k <= mid; k++) add(e[k].y, -1);
   for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) e[u] = p[t];
}
void cdq_nxt(int l, int r) {
   if(l == r) return ;
   int mid = (l + r) >> 1;
   cdq_nxt(l, mid); cdq_nxt(mid + 1, r);
   node p[N];
   int i = l, j = mid + 1, pt = 0;
   while(i <= mid && j <= r) {
   	if(a[i].x <= a[j].x) add(a[i].y, 1), p[++pt] = a[i++];
   	else {
   		if(a[j].type == 0) p[++pt] = a[j++];
   		else ansnxt[a[j].type] += query(a[j].y), p[++pt] = a[j++];
   	}
   }
   while(i <= mid) add(a[i].y, 1), p[++pt] = a[i++];
   while(j <= r) {
   	if(a[j].type == 0) p[++pt] = a[j++];
   	else ansnxt[a[j].type] += query(a[j].y), p[++pt] = a[j++];
   }
   for(int k = l; k <= mid; k++) add(a[k].y, -1);
   for(int t = 1, u = l; t <= pt && u <= r; t++, u++) a[u] = p[t];
}
int main() {
//	freopen("data.in", "r", stdin);
   scanf("%d%d", &n, &m);
   for(int i = 1, x; i <= n; i++) {
   	scanf("%d", &x);
   	e[i].x = e[i].type = 0; e[i].y = x;
   	pos[x] = i;
   }
   for(int i = 1, x; i <= m; i++) {
   	scanf("%d", &x);
   	e[pos[x]].x = m - i + 1;
   	e[pos[x]].type = i;
   }
   for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = e[n - i + 1];
   cdq_per(1, n);
   for(int i = 1; i <= n; i++) e[i] = a[n - i + 1];
   cdq_nxt(1, n);
   lld ans_sum = 0;
   for(int i = 1; i <= n; i++) {
   	ans_sum += i - query(e[i].y) - 1;
   	add(e[i].y, 1);
   }
   int k = 1;
   while(k <= m) {
   	printf("%lld\n", ans_sum);
   	ans_sum -= (ansper[k] + ansnxt[k]);
   	k++;
   }
   return 0;
}

例题2 ： P4169 [Violet]天使玩偶/SJY摆棋子

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