【算法】[leetcode] permutations的讨论（转载）

原题是找到一组数的全排列

Given a collection of numbers, return all possible permutations.

For example,
[1,2,3] have the following permutations:
[1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], and [3,2,1].

函数原型：

vector<vector<int> > permute(vector<int> &num;

这个题大眼一看就是思路一大坨，这里做一个整理吧

思路1

比较直观的想法就是递归咯~~ 在num中拿出1个数字放在第一个，然后剩下的数字做一个全排列，最早接触这个问题的时候我就是这么写的

1. class Solution {
2. public:
3. vector<vector<int> > permute(vector<int> &num) {
4. // Start typing your C/C++ solution below
5. // DO NOT write int main() function
6. int N = num.size();
7. vector<vector<int> > ret;
8. if(N == 1){
9. ret.push_back(num);
10. return ret;
11. }
12. vector<vector<int> > post;
13. vector<int> cur;
14. vector<int> tmp;
15. for(int i = 0; i < N; i++){
16. cur = num;
17. cur.erase(cur.begin()+i);
18. post = permute(cur);
19. for(int j = 0; j < post.size(); j++){
20. tmp = post[j];
21. tmp.insert(tmp.begin(), num[i]);
22. ret.push_back(tmp);
23. }
24. }
25. return ret;
26. }
27. };

思路2：

建立一棵树，比如说

 

 

对于第k层节点来说，就是交换固定了前面 k-1 位，然后分别 swap(k,k), swap(k, k+1) , swap(k, k+2) ...

 

例如上图中的第三层，固定了第一位（即2），然后分别交换第1，1位，1，2位，1，3位

 

1. class Solution {
2. vector<vector<int> > ret;
3. int N;
4. public:
5. void perm(vector<int> &num, int i){
6. if( i == N){
7. ret.push_back(num);
8. }
9. for(int j = i; j < N; j++){
10. swap(num[i], num[j]);
11. perm(num, i + 1);
12. swap(num[j], num[i]);
13. }
14. }
15. vector<vector<int> > permute(vector<int> &num) {
16. // Start typing your C/C++ solution below
17. // DO NOT write int main() function
18. N = num.size();
19. ret.clear();
20. perm(num, 0);
21. return ret;
22. }
23. };

思路3

stl的algorithm里面其实是有next permutation的算法的，那其实用next permutation的方法也是一个不错的选择

 

这个思路可以保证遍历的顺序是字典序，即按照从小到大的顺序

 

next permutation的算法就是。。。swap + reverse。。。交换 & 倒叙

 

比如 1，2，3的下一个就是1，3，2这个很容易理解，因为2和3是升序的，只需要交换这两位，那么132 > 123，但是如果后面几位都是倒序的怎么办？

 

例如 5，4，7，5，3，2 这个序列

 

我们知道答案应该是 5，5，2，3，4，7

 

从直观上来说，7，5，3，2已经是这四位排列的最大值了，所以一定要动到 4 这个数字了，所以我们选了刚好比4大的5来和4进行交换，得到 5，5，。。。后面几位就按照升序放进去就可以了

 

但是令人兴奋的一点是，当4和5交换以后，后面的序列一定是倒序的，所以我们不需要重新sort，只需要将其reverse就可以了

 

这就是swap  + reverse的思路

 

注意，下面这个代码里面交换的是 i-1 和 j-1 所以i指向的是7，而j指向的是3

 

 

1. class Solution {
2. public:
3. void nextPermutation(vector<int> &num) {
4. // Start typing your C/C++ solution below
5. // DO NOT write int main() function
6. //5,4,7,5,3,2
7. //    |   |
8. //    i   j
9. //5,5,7,4,3,2
10. //5,5,2,3,4,7
11. int i = num.size()-1;
12. while(i > 0 && num[i-1] >= num[i] ){
13. i--;
14. }
15. int j = i;
16. while(j < num.size() && num[j] > num[i-1]) j++;
17. if(i == 0){
18. reverse(num.begin(), num.end());
19. }else{
20. swap(num[i-1], num[j-1]);
21. reverse(num.begin() + i, num.end());
22. }
23. }
24. int factorial(int n){
25. return (n == 1 || n == 0) ? 1 : factorial(n - 1) * n;
26. }
27. vector<vector<int> > permute(vector<int> &num) {
28. // Start typing your C/C++ solution below
29. // DO NOT write int main() function
30. int N = num.size();
31. vector<vector<int> > ret;
32. ret.push_back(num);
33. for(int i = 1; i < factorial(N); i++){
34. nextPermutation(num);
35. ret.push_back(num);
36. }
37. return ret;
38. }
39. };

思路四

我觉得思路4是一个很常规的思路，很多把recursive的code改成iterative的code都会用到这样的方法，其实呢，它的本质就是把N个for改成while的方法。介个方法在编程之美里面的“电话号码”那一节提到过，不明白的童鞋可以去看一看，我觉得第一次想写粗来还是很难的，不过多写几个，就会很熟练啦

 

对应介个题目的思路捏就是。。。举个例子来说吧

如果我想求1,2,3,4的全排列

偶的思路就是建一个特殊的数，它的进位方法是 3, 2, 1, 0

所以，这个数的++过程就是

0000 -> 0010 -> 0100 -> 0110 ->0200 -> 0210 -> 

 

1000 -> 1010 -> 1100 -> 1110 ->1200 -> 1210 ->

2000 -> 2010 -> 2100 -> 2110 ->2200 -> 2210 ->

3000 -> 3010 -> 3100 -> 3110 ->3200 -> 3210

哇哈哈哈，刚好是24个！

然后捏？ b0 b1 b2 b3就代表在当前剩下的数字中选择第bi个

哇！好复杂。。。

比如0210

0: 在1234中选择第0个，就是1

2: 在234中选择滴2个，就是4

1: 在23中选择第1个，就是3

0: 在2中选择第0个，就是2

所以0210对应点就素 1432

1. class Solution {
2. public:
3. int factorial(int n){
4. return (n == 1 || n == 0) ? 1 : factorial(n - 1) * n;
5. }
6. void plusp(vector<int> &p, const vector<int> &bound){
7. int i = p.size()-1;
8. while(i >= 0){
9. if(p[i] < bound[i]){
10. p[i]++;
11. break;
12. }else{
13. p[i] = 0;
14. i--;
15. }
16. }
17. }
18. vector<vector<int> > permute(vector<int> &num) {
19. // Start typing your C/C++ solution below
20. // DO NOT write int main() function
21. vector<vector<int> > ret;
22. vector<int> ori_num = num;
23. vector<int> tmp = num;
24. int N = num.size();
25. vector<int> p(N, 0);
26. vector<int> bound = num;
27. for(int i = 0; i < N; i++){
28. bound[i] = N - 1 - i;
29. }
30. for(int i = 0; i < factorial(N); i++){
31. num = ori_num;
32. for(int j = 0; j < N; j++){
33. tmp[j] = num[p[j]];
34. num.erase(num.begin() + p[j]);
35. }
36. ret.push_back(tmp);
37. plusp(p, bound);
38. }
39. return ret;
40. }
41. };

关于字典序的补充版本

Given a collection of numbers that might contain duplicates, return all possible unique permutations.

For example,

[1,1,2]

have the following unique permutations:

[1,1,2] ,  [1,2,1] , and  [2,1,1] .

Permutations 的升级版，依旧是全排列问题，但是 序列中可能会出现重复数字 。

思路：采用字典序的非递归方法。 从字典顺序最小的一种排列开始，每次获得字典序刚好比前一个排列大的排列，直到得到字典序最大的排列时，就得到了所有的结果， 以字符串"abc"为例，"abc"是字典序最小的排列，所有情况按字典序排列为"abc","acb","bac","bca"，"cba","cab"。

具体步骤为为：

1.字符串进行排序，得到字符串的最小字典序排列(C0C1C2...Cn)，Ci<=Ci+1。

2.从后往前，找到一对相邻的升序元素CiCi+1，(Ci<Ci+1)，如果遍历完字符串找不到这样的相邻升序对，说明已经达到了字典序最大的全排列

3.从字符串结束位置到位置i遍历，找到比Ci大的元素Cj，交换Cj的位置

4.将Ci+1到Cn所有的字符逆序，这样得到的排列刚好比之前的字典序大(因为转换后Ci+1<Ci+2<...<Cn，为最小字典序）。

5.重复3,4,5过程直到字典序最大。

AC code：

class Solution {
public:
  void swap(int &i,int &j)
  {
    int temp=i;
    i=j;
    j=temp;
  }
  vector<vector<int> > permuteUnique(vector<int> &num)
  {
    vector<vector<int>> res;
    int i,j,n=num.size();
    sort(num.begin(),num.end());
    res.push_back(num);
    while(true)
    {
      for(i=n-2;i>=0;i--)
        if(num[i]<num[i+1])
          break;
      if(i<=-1)
        return res;
      for(j=n-1;j>i;j--)
        if(num[j]>num[i])
          break;
      swap(num[i],num[j]);
      for(int k=i+1;k<(i+1+n)/2;k++)
        swap(num[k],num[n-(k-i)]);
      res.push_back(num);
    }
  }
};