【学习笔鸡】快速沃尔什变换FWT

OR的FWT

快速解决:

\[C[i]=\sum_{j|k=i} A[j]B[k]
\]

FWT使得我们

\[FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)
\]

其中\(*\)是点积，就是对应位置乘起来。

而对于\(orFWT\)，

\[C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_{j\subseteq i}C[j]
\]

那么证明一下：

\[\begin{array}
&C'[i]&=\sum_{j\subseteq i} C[j]
\\
&=\sum_{j\subseteq i}\sum_{p|k=j} A[p]B[k]
\\
&=\sum_{p\subseteq i,k\subseteq i} A[p]B[k]
\\
&=\sum_{p\subseteq i} A[p]\sum_{k\subseteq i}B[k]
\\
&=A'[i]B'[i]
\end{array}
\]

考虑\(A\)和\(A'\)的关系，其中\(A_0,A_1\)分别代表\(A\)的前\(2^{k-1}\)和后这么多项(下标都从0开始)。他们的差别是\(2^{k-1}\)位上的不同。其他相似。

\[FWT(A)=
\begin{cases}
FWT(A_0),FWT(A_1+A_0) & k>0
\\
A & k=0
\end{cases}
\]

逗号表示依次连接。

复杂度\(T(n)=2T(n/2)+T(n)=O(n\log n)\)，而一般来说\(n=2^m\)那么就是\(O(m2^m)\)

考虑\(IFWT\)

照猫画虎即可

\[IFWT(A')=
\begin{cases}
IFWT(A'_0),IFWT(A'_1-A'_0) & k>0
\\
A' & k=0
\end{cases}
\]

代码

inline void FWT_OR(int*a,const int&tag,const int&len){

	for(int t=1;t<len;t<<=1)

		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)

			for(int k=0;k<t;++k)

				a[t+i+k]=(a[t+i+k]+a[t+i]*tag+mod)%mod;

}

AND的FWT

同样地，快速解决

\[C[i]=\sum_{j\& k=i}A[j]B[k]
\]

可以构造\(C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_\limits{i\subseteq j} C[j]\)，至于为什么构造，这个\(j\&k=i\)可以看做\(i\)是\(j,k\)的子集。

同样有

\[FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)
\]

证明:

\[\begin{array}
&C'[i]&=\sum_{i\subseteq j} C[j]
\\
&= \sum_{i\subseteq j} \sum_{k\&p=j}A[k]B[p]
\\
&= \sum_{i\subseteq k,i\subseteq p}A[k]B[p]
\\
&= \sum_{i\subseteq k}A[k]\sum_{i\subseteq p}B[p]
\\
&=A'[i]B'[i]
\end{array}
\]

同样地

\[FWT(A)=
\begin{cases}
FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)&k>0
\\
A&k=0
\end{cases}
\]

同样的\(T(n)=O(m2^m)\)

同样地

\[IFWT(A')=
\begin{cases}
IFWT(A'_0-A'_1),IFWT(A_1) &k>0
\\
A'&k=0
\end{cases}
\]

同样地

inline void FWT_AND(int*a,const int&tag,const int&len){

	for(int t=1;t<len;t<<=1)

		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)

			for(int k=0;k<t;++k)

				a[t+i]=(a[t+i]+a[t+i+k]*tag+mod)%mod;

}

XOR的FWT

也是快速解决

\[C[i]=\sum_{j\oplus k=i}A[j]B[k]
\]

这里\(FWT(X)\)貌似没有很直观的意义了，推式子的话其实也能理解

\[FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)
\]

这里记录一个符号\(A\oplus B=C\)

那么

\(C=A\oplus B\)

拆成前后两半

\[C_0=A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1
\\
C_1=A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0
\]

令

\[X_0=(A_0+A_1)\oplus (B_0+B_1)
\\
X_1=(A_0-A_1)\oplus (B_0-B_1)
\]

然后?

\[C_0={X_0+X_1\over 2}
\\
C_1={X_0-X_1 \over 2}
\]

但是好像学这个无法和各路大佬进行交流，并且我好像并没有学会，那么...

\[FWT(A)=\begin{cases}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)) & n>0\\A & n=0\end{cases}
\]

用循环实现的技巧和NTT一致，控制长度，控制第几段，控制段内的循环变量

//@winlere

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;

inline int qr(){

	int ret=0,f=0,c=getchar();

	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();

	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();

	return f?-ret:ret;

}

const int maxn=1<<18|1;

const int mod=998244353;

inline void FWT_OR(int*a,const int&len,const int&tag){

	for(int t=1;t<len;t<<=1)

		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)

			for(int k=0;k<t;++k)

				a[t+i+k]=(0ll+a[t+i+k]+a[i+k]*tag+mod)%mod;

}

inline void FWT_AND(int*a,const int&len,const int&tag){

	for(int t=1;t<len;t<<=1)

		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)

			for(int k=0;k<t;++k)

				a[i+k]=(0ll+a[i+k]+a[t+i+k]*tag+mod)%mod;

}

inline void FWT_XOR(int*a,const int&len,const int&tag){

	int opt=tag==1?1:((mod+1)>>1);

	for(int t=1;t<len;t<<=1)

		for(int i=0;i<len;i+=t<<1)

			for(int k=0;k<t;++k){

				int t0=a[i+k],t1=a[i+k+t];

				if(tag==1) a[i+k]=(t0+t1)%mod,a[i+k+t]=(t0-t1+mod)%mod;

				else a[i+k]=1ll*(t0+t1)%mod*opt%mod,a[i+k+t]=1ll*(t0-t1+mod)%mod*opt%mod;

			}

}

int n,k;

int a[maxn],b[maxn],c[maxn];

int A[maxn],B[maxn];

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("in.in","r",stdin);

	freopen("out.out","w",stdout);

#endif

	n=qr();

	for(int t=0;t<1<<n;++t) a[t]=qr();

	for(int t=0;t<1<<n;++t) b[t]=qr();

	size_t s=(1<<n)*4;

	memcpy(A,a,s); memcpy(B,b,s);

	FWT_OR(A,1<<n,1); FWT_OR(B,1<<n,1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) c[t]=1ll*A[t]*B[t]%mod;

	FWT_OR(c,1<<n,-1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) printf("%d ",c[t]);

	putchar('\n');

	memcpy(A,a,s); memcpy(B,b,s);

	FWT_AND(A,1<<n,1); FWT_AND(B,1<<n,1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) c[t]=1ll*A[t]*B[t]%mod;

	FWT_AND(c,1<<n,-1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) printf("%d ",c[t]);

	putchar('\n');

	memcpy(A,a,s); memcpy(B,b,s);

	FWT_XOR(A,1<<n,1); FWT_XOR(B,1<<n,1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) c[t]=1ll*A[t]*B[t]%mod;

	FWT_XOR(c,1<<n,-1);

	for(int t=0;t<1<<n;++t) printf("%d ",c[t]);

	putchar('\n');

	return 0;

}