Frangi形态学滤波详解

利用Hessian矩阵的滤波函数Frangi，网上的文章只是把论文中的公式贴出来了。

我感觉分析下滤波函数是怎么起作用，还是挺有意思的一件事情。

Frangi滤波方法的论文是：

　　Frangi A F, Niessen W J, Vincken K L, et al. Multiscale vessel enhancement filtering[C]//International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. Springer Berlin Heidelberg, 1998: 130-137.

Matlab版程序在：

　　https://ww2.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/24409-hessian-based-frangi-vesselness-filter?s_tid=gn_loc_drop

我改写了一个python版的在：

　　https://github.com/yimingstyle/Frangi-filter-based-Hessian

这里我先只说二维方法。

Hessian矩阵是：

$$H=\left[ \begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} \\ I_{yx} & I_{yy}  \end{matrix} \right] \tag{1} $$

由于Hessian是二阶偏导数组成的，对噪声非常敏感。就像使用拉普拉斯算子进行边缘检测一样，首先进行平滑非常必要。

所以论文中首先对图像进行高斯滤波，又因为高斯滤波和求Hessian矩阵这两个操作可以同步进行,那就合并了，直接对高斯滤波矩阵求二阶导数了。

但是接下来我们分析Frangi滤波的时候一直带着这个高斯滤波器太麻烦了，我们就认定高斯滤波是单独在求Hessian之前对预处理好了。

Frangi滤波的大致步骤是：

1.求Hessian矩阵：对应函数 Hessian2D()

　　用卷积核$$G_{xx}$$对图像进行卷积操作得到$$I_{xx}$$,其中卷积核是$$\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\1 &-2&1\\0&0&0 \end{matrix} \right] \tag{1} $$

　　以此类推得到$$I_{xy}$$和$$I_{yy}$$

2.求Hessian矩阵的两个特征值：对应函数 eig2image()

　　$$\left| \lambda E-H \right|=0$$

　　$$\left|\left[ \begin{matrix} E-I_{xx} & E-I_{xy} \\E-I_{yx} & E-I_{yy}  \end{matrix} \right]\right|=0\tag{1} $$

 　　对于图像中的某一个像素而言，它的Hessian矩阵是2*2的，所以一定存在两个特征值（重根算重数）：λ1和λ2（我们设λ1为较小的那个）。

　　Hessian矩阵特征值和对应的特征向量分别代表该点处沿某一方向上图形曲率大小和方向。

　　那么λ1可以代表曲率较小的方向(灰度梯度变化小),λ2代表曲率较大的方向(灰度梯度变化大)。

　　构建两个变量：$$R_{b}=\frac{ \lambda_1 }{ \lambda_2 }$$和$$S=\sqrt{R_{b}^2-\lambda_2^2}$$

　　我们可以根据图像形态把图像中的像素大致分为三类:

　　1）背景，它们的灰度分布较均匀。任意方向上曲率都较小。

　　2）孤立的点，角点，它在任意方向上的曲率都很大。

　　3）血管处，一般获取的图像中，血管这个圆珠形态沿径向方向λ2上的曲率始终较大，轴向方向λ2上较小。

3.再根据Rb和S构建响应函数：

　　$$V_o=\left| \begin{matrix}0    if \lambda_2>0 \\  (1-\frac{R_{b}^2}{2\beta^2})^2 ( 1-(  -\frac{S^2}{2c^2}  )^2  ) \end{matrix}  \right| \tag{1} $$

　　式中条件：λ2>0,这是要看我们观测的是黑色背景还是白色背景，要是白背景那就是λ2<0。这个在程序中是根据“BlackWhite”这一参数选择的。

　　令上式中 $$ A=- \frac{ R_{b}^2 }{ 2\beta^2 } $$

　　$$ B=(1-(-\frac{S^2}{2c^2})) $$

	背景	孤立点	血管
特征值	λ1小     λ2小	λ1大     λ2大	λ1小     λ2大
A和B的绝对值	A 不定   B较小	A 接近0   B较大	A 接近1   B较大

　　可以看到A对孤立点有抑制作用，B对背景有抑制作用，最后剩下的只有血管处的信号响应强烈。

　　式中的B(贝塔，用latex公式打出来直接就换行了，所以用B代替一下)用来调节区分块状区域和条状区域的敏感程度，在程序中是“FrangiBetaOne”。

　　如果B(贝塔)很大，那么A接近1，对孤立区域抑制就减弱了。而B(贝塔)很小，A很容易受到Rb的影响趋于0，那么在血管的弯曲处，也容易被抑制。

　　c影响滤波后图像的整体平滑程度。程序中是“FrangiBetaTwo”。

　　S对血管处的响应起关键作用，如果c较大，S的变化程度相对被压制了，图像就变得平滑。c很小，把S放大了，那么滤波后的图像（也就是滤波器的响应）就变得波动较大。

　　这个滤波器只有在卷积尺度和血管宽度最接近的时候效果最好。如何确定卷积尺寸呢，最直接也是最有效的方法就是--枚举法。

　　所以程序中就是用不同的卷积尺度去做滤波，得到的多幅滤波后图像中，在每一点处选择响应值最高的结果。函数中“FrangiScaleRange”就是枚举的尺度范围。

　　这一点也很好理解。我们是用高斯卷积核的二阶导数求Hessian矩阵的。

　　高斯函数的标准差表示卷积尺度（论文中是标准差的3倍），高斯滤波是按照高斯函数给某一点处及其周围像素设定权重，加权求平均。

　　所以假设我们的卷积尺度比血管宽度大很多，那么得到的卷积结果就会被背景处拉低，因为背景处的灰度梯度变化是较小的。

　　而当卷积尺度比血管宽度小很多时，无论噪声还是块状区域都会被滤波器保留。