Nice Families Of GF

Handbook的第61页开始，大概6，7页这样

做笔记，不然学了忘

这里讨论三个nice properties某些生成函数可能会具有的。

rational

algebraic

D-finite(also known as “differentially finite” or “holonomic”)

具有这样的性质的生成函数会有一些良性质

rational

满足这3个之一就可以叫做rational，这3点是等价的

rational algebraic D-finite总览

下定义

想当然地看，c-recursive和P-recursive简单的区别就是递归方程的系数是不是常数

逻辑关系

可以看到D-finite是三者中最弱的

rational的生成函数=>algebraic的生成函数=>D-finite的生成函数 生成函数

逻辑关系类比上类似于

正方形=>矩形=>平行四边形 凸四边形

例子

Example rational algebraic D-finite
\(\frac{1}{1-2x}\) √ √ √
\(\frac{x}{1-x-x^2}\) √ √ √
\(\sqrt{1+x}\) × √ √
\(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\) × √ √
\(e^x\) × × √
\(log(1-x)\) × × √
\(sin(x)\) × × √
$arctan(x) $ × × √
\(\sqrt{1+log(1+x^2)}\) × × ×
\(sec(x)\) × × ×
\(tan(x)\) × × ×

更多的例子和判别法

运算是否有性质？

compositional inverse是说A(x)对于x为自变量的反函数

运算是否有性质？-补充

判别级数不是algebraic的方法

判别级数不是D-finite的方法

书用的是handbook of enumerative combinatorics

资料来源网络

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