【学习笔记】珂朵莉树（ODT）

珂朵莉树

\(\tt 0x00\) 起源

起源于 CodeForces 的一题 CF896C，当时出题人提供了这种做法，在随机数据下均摊复杂度比较优秀。

正统名字好像叫颜色段均摊，由于题目也得名于 \(\overset{\tt{Old}}{\texttt{珂}}\overset{\tt{Driver}}{\texttt{朵}}\overset{\tt{Tree}}{\texttt{莉}}\texttt{树}\)。

\(\tt 0x01\) 基本结构

先看代码：

struct node{
	ll l,r;
	mutable ll v;
	node(ll _l,ll _r=0,ll _v=0): l(_l),r(_r),v(_v){}
	bool operator<(const node &rhs)const{
		return l<rhs.l;
	}
};
set<node> s;

结构体中的 \(l,r\) 指数列中 \([l,r]\) 段的左右端点，\(v\) 指这一段表示的数字。

\(\tt{mutable}\) 可让只读迭代器修改其中 \(v\) 的值。

重载运算符 < 的用意是让所有区间按照左端点从小到大排序。

例如原数列为

经过颜色均摊之后，形成的珂朵莉树是这样的：

\(\tt 0x02\) split

珂朵莉数核心操作：split，作用是以 \(pos\) 为分界线，把 \([l,r]\) 分为 \([l,pos-1]\) 和 \([pos,r]\) 两段，函数的返回值是指向 \([pos,r]\) 的迭代器。

为省时间且好写，set<node>::iterator 可以 typedef 一下或直接用 auto（C++14 及以后）。

代码：

auto split(int pos){
	auto it=s.lower_bound(node(pos)); //按 l 找包含 pos 的 node
	if(it!=s.end() && it->l==pos) return it; //找到且为区间左端点，直接返回
	it--;//要么没找到，要么是包含 pos 的 node 的后一个 node
	if(it->r<pos) return s.end(); //没找到，返回
	ll l=it->l,r=it->r,v=it->v; //复制一份
	s.erase(it); //删掉这个区间
	s.insert(node(l,pos-1,v));  //插入左区间
	return s.insert(node(pos,r,v)).first; //插入右区间，并返回右区间的迭代器
}

\(\tt 0x03\) assign

对应区间推平操作。因为我们的 \([l,r]\) 可能包含在其他区间内，所以我们要先把 \(l,r\) split 出来，然后删除中间的所有节点，最后插入一个 \((l,r,v)\) 即可。

注意分裂时要先 split(r+1) 再 split(l)，不然可能会导致原来指向 split(l) 的迭代器释放，造成 RE。

代码：

void assign(ll l,ll r,ll x){
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	s.erase(itl,itr);
	s.insert(node(l,r,x));
}

\(\tt 0x04\) 其他操作

基本都是套板子：

void modify(ll l,ll r,ll x){
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	for(auto it=itl;it!=itr;it++)
		// do sth
}

\(\tt 0x05\) 例题

• https://www.luogu.com.cn/problem/CF896C （梦开始的地方）
• https://www.luogu.com.cn/problem/SP13015 （前置知识：素数筛）
• https://www.luogu.com.cn/problem/SP19568 （上一题加强版，加了单点修改操作）
• https://www.luogu.com.cn/problem/CF915E （珂朵莉树板子）

\(\tt 0x06\) 完整代码

\(\text{Link}\)