学军中学第三届“图灵杯”趣味网络邀请赛——中级T4.欧拉回路 （图论，哈希）

题面

补题链接

7
5 6 7 1 2 3 3

13

5
30 50 10 30 70

8

题解

存在欧拉回路的条件是：1. 每个点的度数都是偶数。2. 有边的连通块最多一个。

数据范围是允许我们

n

2

n^2

n2 枚举的，因此我们看怎么均摊

O

(

1

)

O(1)

O(1) 解决上面的两个判断。

首先，每个点的度数都是偶数。我们预处理两个 0/1 数组，

p

r

e

[

i

]

[

j

]

pre[i][j]

pre[i][j] 表示只考虑前

i

i

i 个数，第

j

j

j 个数向后连边个数取模 2 的结果，

s

u

f

[

i

]

[

j

]

suf[i][j]

suf[i][j] 表示只考虑后

n

−

i

+

1

n-i+1

n−i+1 个数，第

j

j

j 个数向前连边个数取模 2 的结果。

这两个数组都可以

O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2) 预处理出来，用 bitset 可以省点空间。然后，一个区间

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 满足度数需求，当且仅当数列

p

r

e

[

r

]

pre[r]

pre[r] 异或数列

s

u

f

[

l

]

suf[l]

suf[l] 后，

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 以内全为 0 。异或后为 0，等价于相等。因此我们分别把

p

r

e

[

r

]

pre[r]

pre[r] 和

s

u

f

[

l

]

suf[l]

suf[l] 的

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 区间子序列哈希下来，

O

(

1

)

O(1)

O(1) 比较。安排一下枚举顺序，处理全部可以达到

O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2) 。

第二个条件，不太好办。但是我们可以发现一个规律：

• 只要存在两条边

  a

  −

  c

  ,

  b

  −

  d

  a-c~,~b-d

  a−c , b−d ，且满足

  a

  <

  b

  <

  c

  <

  d

  a<b<c<d

  a<b<c<d ，那么

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ,

  d

  a,b,c,d

  a,b,c,d 一定是连通的。

证明很简单，归纳

b

b

b 和

c

c

c 数字的大小关系，会发现不论如何

a

−

b

a-b

a−b 和

b

−

c

b-c

b−c 中有至少一条边存在。

所以，一段区间

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 不满足第二个条件，当且仅当存在一个分界点

i

∈

[

l

,

r

)

i\in [l,r)

i∈[l,r) ，满足点

i

i

i 前面有边，后面有边，但没有边跨过

i

i

i 和

i

+

1

i+1

i+1 的中间线。

我们固定左端点，右端点往右枚举，大力讨论，维护最靠左的一个最大区间

[

L

,

R

]

⊆

[

l

,

r

]

[L,R]\sube [l,r]

[L,R]⊆[l,r] ，满足

[

L

,

R

]

[L,R]

[L,R] 以内都是分界点（暂假设后面都有边）。我们得提前处理出

p

t

[

i

]

[

j

]

pt[i][j]

pt[i][j] ，表示

[

j

,

i

)

[j,i)

[j,i) 以内最靠左的位置，满足与

i

i

i 有边相连，没有则为

+

∞

+\infty

+∞。这个可以

O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2) 预处理。

维护

[

L

,

R

]

[L,R]

[L,R] 讨论如下：当枚举到

r

r

r 时，令

l

f

=

p

t

[

r

]

[

l

]

lf=pt[r][l]

lf=pt[r][l]

1. l

   f

   >

   r

   lf>r

   lf>r ，若区间为空，且前面出现过边，则赋值

   [

   L

   ,

   R

   ]

   :

   =

   [

   r

   −

   1

   ,

   r

   ]

   [L,R]:=[r-1,r]

   [L,R]:=[r−1,r]，否则如果

   R

   =

   r

   −

   1

   R=r-1

   R=r−1 ，则

   R

   :

   =

   R

   +

   1

   R:=R+1

   R:=R+1 。

2. l

   f

   <

   r

   lf<r

   lf<r ，将右端点

   R

   R

   R 尽量左移，

   R

   :

   =

   min

   ⁡

   (

   R

   ,

   l

   f

   −

   1

   )

   R:=\min(R,lf-1)

   R:=min(R,lf−1) ，此时若

   L

   >

   R

   L>R

   L>R（即区间为空），则赋值

   [

   L

   ,

   R

   ]

   :

   =

   [

   r

   ,

   r

   ]

   [L,R]:=[r,r]

   [L,R]:=[r,r] 。

如果

[

L

,

R

]

[L,R]

[L,R] 为空，或者

R

=

r

R=r

R=r ，则子序列

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 满足第二个条件。时间复杂度

O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2) 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 8005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define SI(x) set<x>::iterator
#define BI bitset<MAXN>
#define eps (1e-9)
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
const int MOD = 998344353;
const int bt = 23;
int n,m,s,o,k;
int a[MAXN];
BI pre[MAXN],suf[MAXN],f1[MAXN];
int pt[MAXN][MAXN];
int hs[MAXN],po[MAXN];
int main() {
	n = read();
	po[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
		po[i] = po[i-1] *1ll* bt % MOD;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		pt[i][i+1] = n+2;
		for(int j = i;j > 0;j --) {
			pt[i][j] = pt[i][j+1];
			if(a[j] < a[i]) pt[i][j] = j,pre[i][j] = 1;
		}
		pre[i] ^= pre[i-1];
	}
	for(int i = n;i > 0;i --) {
		for(int j = i;j <= n;j ++) {
			if(a[j] > a[i]) {
				suf[i][j] = 1;
			}
			hs[j] = (hs[j] *1ll* bt % MOD + (int)pre[j][i]+2) % MOD;
		}
		suf[i] ^= suf[i+1];
		int has = 0;
		for(int j = i;j <= n;j ++) {
			(has += ((int)suf[i][j]+2) *1ll* po[j-i] % MOD) %= MOD;
			if(has == hs[j]) f1[i][j] = 1;
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		int l = n+3,r = n+2;
		for(int j = i;j <= n;j ++) {
			int lf = pt[j][i];
			if(lf > j) {
				if(l > r || (l == i-1 && r != j-1)) l = j-1,r = j;
				else if(r == j-1) r = j;
			}
			else {
				r = min(r,lf-1);
				if(l > r || l == i-1) l = r = j;
			}
			if(l > r || r == j || l < i) {
				ans += (int)f1[i][j];
			}
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

后记

好家伙，居然是普及组比赛

3:18:51 过 T3，我还有救吗