[物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值

设流场中流体的应力张量为 ${\bf P}=(p_{ij})$. 试证明: 在以某点为中心, $r$ 为半径的球面 $S_r$ 上的法向应力分量的平均值, 在 $r\to 0$ 时的极限为该点正应力的平均值, 即成立 $$\bex \lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^2}\int_{S_r}{\bf p}_n\cdot{\bf n}\rd S =\cfrac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33}), \eex$$ 其中 ${\bf p}_n$ 由 (2. 5) 或 (2. 6) 式定义.

证明: 由于 $(p_{ij})$ 对称, 而存在正交阵 $Q_{(x)}$, 使得 $$\bex Q^T_{(x)}PQ_{(x)}=\diag(\lm_{1,(x)},\lm_{2,(x)},\lm_{3,(x)}). \eex$$ 于是 $$\beex \bea \lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^2}\int_{S_r}{\bf p}_n\cdot{\bf n}\rd S &=\lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^4} \int_{x_1^2+x_2^2+x_3^2=r^2}\sum_{i,j=1}^3x_ip_{ij}x_j\rd S_x \\ &=\lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^4} \int_{y_1^2+y_2^2+y_3^2=r^2} \sum_{i=1}^3 \lm_{i,(Q_{(x)}y)}y_i^2\rd S_y \quad\sex{x=Q_{(x)}y}\\ &=\lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^4} \int_{y_1^2+y_2^2+y_3^2=r^2} \sum_{i=1}^3 \sez{\lm_{i,(Q_{(x)}y)}-\lm_i}y_i^2\rd S_y\\ &\quad +\lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^4} \sum_{i=1}^3\lm_i\cdot \int_{y_1^2+y_2^2+y_3^2=r^2} y_i^2\rd S_y \\ &=\lim_{r\to 0}\cfrac{1}{4\pi r^4} \sum_{i=1}^3\lm_i \cdot\cfrac{1}{3} \int_{y_1^2+y_2^2+y_3^2=r^2} y_1^2+y_2^2+y_3^2\rd S_y \\ &=\cfrac{1}{3}\sum_{i=1}^3 \lm_i\\ &=\cfrac{1}{3}(p_{11}+p_{22}+p_{33}). \eea \eeex$$