Loj 2008 小凸想跑步

Loj 2008 小凸想跑步

• \(S(P,p_0,p_1)<S(P,p_i,p_{i+1})\) 这个约束条件对于 \(P_x,P_y\) 是线性的,即将面积用向量叉积表示,暴力拆开,可得到 \(aP_x+bP_y+c<0\) 的形式,表示了一个半平面,其他每条边都确定了一个半平面.
• 再将 \(P\) 在多边形内拆成 \(N-1\) 个半平面的限制,将这 \(2N-1\) 个半平面求交,得到的区域即为合法区域,除以总面积即得答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int out=0,fh=1;
    char jp=getchar();
    while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
        jp=getchar();
    if (jp=='-')
        fh=-1,jp=getchar();
    while (jp>='0'&&jp<='9')
        out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
    return out*fh;
}
const double eps=1e-8;
inline int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<=eps)
        return 0;
    return x>0;
}
const int MAXN=2e5+10;
struct v2
{
    double x,y;
    v2(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
    friend double operator * (const v2 &a,const v2 &b)
    {
        return a.x*b.y-a.y*b.x;
    }
    v2 operator + (const v2 &rhs) const
    {
        return v2(x+rhs.x,y+rhs.y);
    }
    v2 operator - (const v2 &rhs) const
    {
        return v2(x-rhs.x,y-rhs.y);
    }
    v2 operator ^ (const double &lambda) const
    {
        return v2(x*lambda,y*lambda);
    }
    double modulus()
    {
        return sqrt(x*x+y*y);
    }
    double angle()
    {
        return atan2(y,x);
    }
    bool operator < (const v2 &rhs) const
    {
        return x==rhs.x?y<rhs.y:x<rhs.x;
    }
};
struct Line
{
    v2 p,v;
    double angle()
    {
        return v.angle();
    }
    friend bool operator < (Line a,Line b)
    {
        if(a.angle()!=b.angle())
            return a.angle()<b.angle();
        return a.v*b.v<0;
    }
};
bool Onleft(Line L,v2 p)
{
    return (L.v*(p-L.p))>0;
}
v2 Intersection(Line a,Line b)
{
    v2 u=a.p-b.p;
    double t=(b.v*u)/(a.v*b.v);
    return a.p+(a.v^t);
}
#define x(I) poly[I].x
#define y(I) poly[I].y
int n,totl=0;
v2 poly[MAXN];
Line L[MAXN],q[MAXN];
v2 p[MAXN];
int head,tail;
void Hpi()
{
    sort(L+1,L+1+totl);
    q[head=tail=1]=L[1];
    for(int i=2;i<=totl;++i)
    {
        while(head<tail && !Onleft(L[i],p[tail-1]))
            --tail;
        while(head<tail && !Onleft(L[i],p[head]))
            ++head;
        ++tail;
        q[tail]=L[i];
        if(head<tail && (q[tail].v*q[tail-1].v)==0)
        {
            --tail;
            if(Onleft(q[tail],L[i].p))
                q[tail]=L[i];
        }
        if(head<tail)
            p[tail-1]=Intersection(q[tail-1],q[tail]);
    }
    while(head<tail && !Onleft(q[head],p[tail-1]))
        --tail;
    p[tail]=Intersection(q[tail],q[head]);
    p[tail+1]=p[head];
    double area=0;
    v2 O=v2(0,0);
    for(int i=head;i<=tail;++i)
        area+=(O-p[i])*(O-p[i+1]);
	area=fabs(area);
    double ts=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ts+=(O-poly[i])*(O-poly[i+1]);
    ts=fabs(ts);
    printf("%.4lf\n",area/ts);
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        scanf("%lf%lf",&poly[i].x,&poly[i].y);
    poly[n+1]=poly[1];
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        ++totl;
        L[totl].p=poly[i];
        L[totl].v=poly[i+1]-poly[i];
    }
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
    	int j=i+1;
        double a=x(2)-x(1),b=y(2)-y(1);
        double c=x(j)-x(i),d=y(j)-y(i);
        double A=d-b,B=a-c,C=b*x(1)-a*y(1)+c*y(i)-d*x(i);
        if(A==0 && B==0)
        {
        	if(C<=0)
        		continue;
        	else
        		return puts("0.0000")&0;
		}
		++totl;
		if(A==0)
			L[totl].p=v2(0,-C/B);
		else
			L[totl].p=v2(-C/A,0);
		L[totl].v=v2(-B,A);
		if(i!=n && !Onleft(L[totl],poly[1]))
			L[totl].v=(L[totl].v^(-1));
		if(i==n && !Onleft(L[totl],poly[2]))
			L[totl].v=(L[totl].v^(-1));
    }
    Hpi();
    return 0;
}