HGOI 20190218 题解

/*
又是AK局...
hjc又双叒叕AK了...
Hmmm...我侥幸
*/

Problem A card

给出无序序列a[]可以选择一个数插入到合适的位置作为一次操作，至少多少次操作后可以把序列变成有序。

对于100%的数据，序列长度 $l\leq5e5$

Solution ： 最长上升子序列(LIS)-n

 这个是显然的结论，最优的话一定是保证LIS情况下，把除LIS外的数依次加到有序的LIS里面刚好加了这么多个。

所以答案是n-LIS，最优性显然: LIS保证需要插入的数字数量最少，而需要插入的数字最少只需要1步移动就一定可以保证把数列LIS增加1.

O(n log₂ n)复杂度求LIS是这道题的关键。记f[i]表示长度为i的上升子序列末尾元素最大是多少。

显然当i变大的时候f[i]单调不降，有单调性，可以二分优化转移。找到第1个j，$f[j] \leq a[i]$，转移就行。

注意这个需要最大化j才能保证转移最优，所以是upper_bound而不是lower_bound。

# pragma G++ optimize()
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <cstdio>
# include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+;
int a[N],ans,n,f[N];
inline int read()
{
    int X=,w=; char c=;
    while(c<''||c>'') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') X=(X<<)+(X<<)+(c^),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
int main()
{
    freopen("card.in","r",stdin);
    freopen("card.out","w",stdout);
    n=read();
    int ans=;
    for (int i=;i<=n;i++) a[i]=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[]=a[];
    for (int i=;i<=n;i++) {
        int p=upper_bound(f,f++n,a[i])-f-;
        if (p==-) { f[]=min(f[],a[i]); ans=max(ans,); continue;}
        ans=max(ans,p+);
        f[p+]=min(f[p+],a[i]);
    }
    cout<<n-ans<<'\n';
    return ;
} 

Card.cpp

Problem B pikaqiu

给出n*m的地图每个点可以是石头(1)和路(0)，经过路的代价是1，经过石头的代价是5，有起点(5)和终点(9)，问起点到终点最小代价是多少，

若代价大于可支付的能量T，输出-1，否则输出剩余能量。

对于100%的数据： $n,m\leq 500$

Solution ： 拆点跑Dijkstra最短路，考虑一个点和上下左右四个点有有向连边，若这个点是石头那么建长为5的边否则建长为1的边

然后这个图变成是n²个点，4n²条边的有向图，然后跑Dijkstra，求出[s,t]的最短路即可。（注意一定是单向加边，由于重边会导致本来是石头的边变成路，造成冲突）

-spfa已经死了 -不他没活过

复杂度O(n² log₂ n²)

# pragma G++ optimize()
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <algorithm>
# include <cstdio>
# include <queue>
using namespace std;
const int N=1e6+;
const int dx[]={-,,,};
const int dy[]={,,,-};
int T,n,m;
int head[N],d[N],mp[N];
int s,tot=,INF;
bool vis[N];
struct record{
    int pre,to,w;
}a[N<<];
# define Num(i,j) (m*(i-)+j)
inline int read()
{
    int X=,w=; char c=;
    while(c<''||c>'') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') X=(X<<)+(X<<)+(c^),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void adde(int u,int v,int w)
{
    a[++tot].pre=head[u];
    a[tot].to=v;
    a[tot].w=w;
    head[u]=tot;
}
struct rec{
    int id,lenth;
    bool operator < (const rec a)const{
        if  (lenth!=a.lenth) return lenth>a.lenth;
        else return id>a.id;
    }
};
priority_queue<rec>q;
int dijkstra(int s,int e)
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(d,,sizeof(d));INF=d[];d[s]=;
    rec Node; Node.id=s; Node.lenth=; q.push(Node);
    while (! q.empty()){
        rec Node=q.top(); q.pop();
        int u=Node.id;
        if (vis[u]==true) continue;
        vis[u]=true;
        for (int i=head[u];i!=;i=a[i].pre){
            int v=a[i].to;
            if (d[v]-a[i].w>d[u]) {
                d[v]=a[i].w+d[u];
                rec N; N.id=v;N.lenth=d[v];
                q.push(N);
            }
        }
    }
    return d[e];
}
int main()
{
    freopen("pikaqiu.in","r",stdin);
    freopen("pikaqiu.out","w",stdout);
    T=read(); n=read(); m=read();
    int Str,End;
    for (int i=;i<=n;i++)
     for (int j=;j<=m;j++) {
          int t=Num(i,j);mp[t]=read();
          if (mp[t]==) Str=t;
          else if (mp[t]==) End=t;
    }
    for (int i=;i<=n;i++)
     for (int j=;j<=m;j++) {
         int now=Num(i,j);

         for (int tp=;tp<;tp++) {
             int x=i+dx[tp],y=j+dy[tp];
             if (x<||x>n||y<||y>m) continue;
             int num=Num(x,y);
             if (mp[num]==) adde(now,num,);
             else adde(now,num,);
         }
     }
     int Ans=dijkstra(Str,End);
     if (Ans>=T) puts("-1");
     else cout<<T-Ans<<'\n';
    return ;
}

pikaqiu.cpp

Problem C min

一个含有n项的数列a[]，求出每一项前面的第m个数到它这个区间内的最小值Min_i

对于100%的数据 $n\leq 1e7$

Solution : 

单调队列题目，显然给了60%的线段树的暴力分。考虑O(n)做法。

弄一个双端队列deque然后前面弹出不在范围内的数，后面弹出不优的数和插入一个新的数。

队列维护的是下标单增，值单增的数列，同时保证在范围内，取数时取队头。

luogu 滑动窗口 单调队列裸题。

# pragma G++ optimize()
# include <deque>
# include <iostream>
# include <cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+;
int a[N],n,m;
deque<int>q;
inline int read()
{
    int X=,w=; char c=;
    while(c<''||c>'') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') X=(X<<)+(X<<)+(c^),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x)
{
    if (x<) x=-x,putchar('-');
    if (x>) write(x/);
    putchar(''+x%);
}
signed main()
{
    freopen("min.in","r",stdin);
    freopen("min.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    int Test=;
    for (int i=;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=;i<=n;i++) {
        while (!q.empty()&&q.front()<i-m) q.pop_front();
        while (!q.empty()&&a[q.back()]>=a[i]) q.pop_back();
        q.push_back(i);
        write(a[q.front()]);putchar(' ');
    }
    putchar('\n');
    return ;
}

min.cpp

Problem D smrtfun

给出n个数对$(left_i,right_i)$选出若干组，

最大化 $\sum\limits_{i=1}^k left_i + \sum\limits_{i=1}^k right_i$ 且 $ \sum\limits_{i=1}^k left_i \geqslant 0 ,  \sum\limits_{i=1}^k right_i \geqslant  0$

对于100%的数据 $n \leq 100$

Solution： 背包问题，令$f[i][j]$表示前i个数对，$left$求和等于$k$，$right$求和的最大值。

转移比较简单就是  $f[i][j]=max \{ f[i-1][j],f[i-1][j-left_{now}]+right_{now} \} $

答案就是 max{f[n][j]} (0<=j<=INF)

然后初始值比较恶心，f[0][]都是负无穷，然后f[0][0]=0

然而c++没有下标为负数的数组，需要加上基底E=1e5才行，

时间复杂度O(n*mx²)

# pragma G++ optimize()
# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# define left Lift
# define right Right
using namespace std;
const int N=,M=1e5+;
const int E=1e5;
const int INF=1e5-;
int f[N][M<<];
int left[N],right[N];
int n,mx,ans;
int max(int x,int y) {return (x>y?x:y);}
inline int read()
{
    int X=,w=; char c=;
    while(c<''||c>'') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') X=(X<<)+(X<<)+(c^),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
int main()
{
    freopen("smrtfun.in","r",stdin);
    freopen("smrtfun.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=;i<=n;i++)
        left[i]=read(),right[i]=read();
    memset(f[],~0x3f,sizeof(f[]));
    f[][E]=;
    for (int i=;i<=n;i++)
     for (int j=-INF;j<=INF;j++) {
         f[i][j+E]=f[i-][j+E];
         if (j-left[i]<-INF||j-left[i]>INF) continue;
         f[i][j+E]=max(f[i-][j-left[i]+E]+right[i],f[i][j+E]);
     }
     for (int j=;j<=INF;j++) if (f[n][j+E]>=) ans=max(ans,f[n][j+E]+j);
    cout<<ans<<'\n';
    return ;
 } 

smrtfun.cpp