赶鸭子上架的cdq分治

前置技能：归并排序，树状数组。

cdq分治主要是用来离线解决一些奇怪的问题的。可以用来代替一些高级数据结构比如树套树或者KD-Tree之类的。。。

话说挑战2上的KD-Tree我到现在还没开始学。。。

cdq遇到在线的好像就死掉了？(雾

目前在博主的能力范围内：

主要用来解决多维(三维)偏序问题。

bzoj 陌上花开：给n朵花，每朵花有abc三个属性，问对于每朵花 i 满足 ai>=aj&&bi>=bj&&ci>=cj的花儿有多少。

我们使用cdq减掉一维同时复杂度乘以log。

回想归排求逆序对，其实也就是二维偏序问题，我们在对x排好序的前提下，x可以当成下标，求 xi<xj&&yi>yj的数的数目。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,a[],b[];ll ans;
void cdq(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int m=l+r>>;
    cdq(l,m);
    cdq(m+,r);
    int i=l,j=m+,st=l;
    while (i<=m&&j<=r){
        if(a[i]<=a[j]){
            b[st++]=a[i++];
        } else{
            ans+=(m-i+);
            b[st++]=a[j++];
        }
    }
    while (i<=m) b[st++]=a[i++];
    while (j<=r) b[st++]=a[j++];
    for(int i=l;i<=r;i++){
        a[i]=b[i];
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    cdq(,n);
    cout<<ans<<endl;
}

然后维护左区间对右区间每个数的影响，也就是 ans+=(m-i+1);这句话。

那么我们知道bit也可以解决二维偏序问题，所以我们使用 归并+bit就可以解决三维偏序问题。

关键代码处加了注释

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+;
struct Flower{
    int a,b,c,cnt,ans;
}a[N],A[N];
bool cmp2(const Flower &a, const Flower&b){
    return a.a<b.a||(a.a==b.a&&a.b<b.b)||(a.a==b.a&&a.b==b.b&&a.c<b.c);
}
bool cmp1(const Flower& a,const Flower& b){
    return a.b<b.b||(a.b==b.b&&a.c<b.c);
}
int n,k,c[N];
int lowbit(int k){ return k&-k;}
void add(int pos,int num){
    while (pos<=k){
        c[pos]+=num;pos+=lowbit(pos);
    }
}
int sum(int x){
    int ans = ;
    while (x){ ans+=c[x];x-=lowbit(x); }
    return ans;
}
Flower t[N];
void cdq(int l,int r){//l-r满足a非严格递增
    if(l==r) return;
    int m = l+r>>;
    cdq(l,m);
    cdq(m+,r);
    int j=l;
    for(int i=m+;i<=r;i++){
        for(;j<=m&&A[j].b<=A[i].b;j++)
            add(A[j].c,A[j].cnt);
        A[i].ans+=sum(A[i].c);
    }
    for(int i=l;i<j;i++)
        add(A[i].c,-A[i].cnt);

    int l1=l,l2=m+; int pos=l;
    while(l1<=m||l2<=r) {
        if(l2>r||(l1<=m&&cmp1(A[l1],A[l2]))) t[pos++]=A[l1++];
        else t[pos++]=A[l2++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) A[i]=t[i];
}

int ans[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>k;
    for(int i=;i<=n;i++){
        cin>>a[i].a>>a[i].b>>a[i].c;
        a[i].cnt=;
    }
    sort(a+,a++n,cmp2);//先保证a的大小关系
    int cnt = ;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(i==||!(a[i].a==a[i-].a&&a[i].b==a[i-].b&&a[i].c==a[i - ].c))//处理abc三个属性全部一样的花
            A[cnt++] = a[i];
        else
            A[cnt-].cnt++;
    }
    cdq(,cnt-);
    for(int i = ; i <= cnt; i++)
        ans[A[i].ans+A[i].cnt-] += A[i].cnt;
    for(int i = ; i < n; i++)
        cout<<ans[i]<<endl;
    return ;
}
/**
10 3
3 3 3
2 3 3
2 3 1
3 1 1
3 1 2
1 3 1
1 1 2
1 2 2
1 3 2
1 2 1
 */
 /**
3
1
3
0
1
0
1
0
0
1
  */

SHOI2007 园丁的烦恼

做法很多。。。这里讲一下cdq。和上一道题是一样的吧，可以这样想，把 t,x,y当成三个变量，t代表了操作时间，可以理解成 查询/添加，

然后对于 (x1,y1)到(x2,y2)可以差分一下，en...

那么这道题就变成了一个  求 满足  ti>tj,xi>=xj,yi>=yi  这样的一个三维偏序问题

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N = 35e5+;
 struct Node{
     int op,x,y,w,id;
 }a[N],A[N];
 int n,m,up,tot;
 int c[N];
 int lowbit(int x){
     return x&-x;
 }
 void upd(int pos,int x){
     while (pos<=up) {
         c[pos]+=x;
         pos+=lowbit(pos);
     }
 }
 int sum(int x){
     int res = ;
     while (x){
         res+=c[x];
         x-=lowbit(x);
     }
     return res;
 }
 void clear(int x){
     while(x<=up) {
         if(c[x]) c[x]=;
         else break;
         x+=lowbit(x);
     }
 }
 bool cmp(Node a,Node b){
     return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.op<b.op);
 }
 int ans[N];
 void cdq(int l,int r){
     if(l==r) return;
     int mid = l+r>>;
     cdq(l,mid);
     cdq(mid+,r);
     int i=l,j=mid+,st=l;
     while (i<=mid&&j<=r){
         if(cmp(a[i],a[j])){
             if(a[i].op==)
                 upd(a[i].y,);
             A[st++]=a[i++];
         } else{
             if(a[j].op==)
                 ans[a[j].id]+=a[j].w*sum(a[j].y);
             A[st++]=a[j++];
         }
     }
     while (i<=mid) A[st++]=a[i++];
     while (j<=r){
         if(a[j].op==)
             ans[a[j].id]+=a[j].w*sum(a[j].y);
         A[st++] = a[j++];
     }
     for(int i=l;i<=r;i++){
         clear(a[i].y);
         a[i]=A[i];
     }
 }
 void ins(int op,int x,int y,int w,int id){
     tot++;
     a[tot].op=op;a[tot].x=x;a[tot].y=y;a[tot].w=w;a[tot].id=id;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     int x,y;
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d%d",&x,&y);;x++;y++;
         ins(,x,y,,);
         up = max(y,up);
     }
     int x2,y2;
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&x2,&y2);
         x++;y++;x2++;y2++;
         ins(,x2,y2,,i);
         ins(,x-,y2,-,i);
         ins(,x2,y-,-,i);
         ins(,x-,y-,,i);
         up = max(max(y,y2),up);
     }
     cdq(,tot);
     for(int i=;i<=m;i++)
         printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }

bzoj 3295 动态逆序对

这类问题我们有一个方法就是倒着来一遍吧。然后我们按照时间戳给所有元素标号，每个点 具有  t,x,y 三个属性，就又变成了一个三维偏序问题。

那么我们需要求的 就是 满足(令当前元素为i)  t<ti,x<xi,y>yi的数目加上 t<ti, x>xi,y<yi的数目。

然后我们在归并的时候分别从左往右扫，从右往左扫一下就可以了。

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N = 1e5+;
 struct Node{
     int t,x,y;
 }a[N],A[N];
 int ld[N],yx[N];
 int n,m,c[N];
 int lowbit(int x){ return x&-x;}
 void upd(int pos,int x){
     while (pos<=n){
         c[pos]+=x;
         pos+=lowbit(pos);
     }
 }
 void clear(int x){
     while (x<=n){
         if(c[x]) c[x]=,x+=lowbit(x);
         else break;
     }
 }
 int sum(int x){
     int res = ;
     while (x){
         res+=c[x];
         x-=lowbit(x);
     }
     return res;
 }
 void cdq(int l,int r){//保证x单调增
     if(l==r) return;
     int mid = l+r>>;
     int s1=l,s2=mid+;
     for(int i=l;i<=r;i++){//左边的t全部小于右边的，同时x单调
         if(a[i].t<=mid)
             A[s1++]=a[i];
         else
             A[s2++]=a[i];
     }
     for(int i=l;i<=r;i++)
         a[i]=A[i];
     s1=l;s2=mid+;
     while (s2<=r){//
         while (s1<=mid&&a[s1].x<a[s2].x){//x小y大
             upd(a[s1].y,);s1++;
         }
         ld[a[s2].t]+=(s1-l)-sum(a[s2].y);//左边y比他大的
         s2++;
     }
     for(int i=l;i<=mid;i++)
         clear(a[i].y);
     s1=mid;s2=r;
     while (s2>=mid+){
         while (s1>=l&&a[s1].x>a[s2].x){//x大y小
             upd(a[s1].y,);
             --s1;
         }
         yx[a[s2].t]+=sum(a[s2].y-);
         s2--;
     }
     for(int i=l;i<=mid;i++)
         clear(a[i].y);
     cdq(l,mid);cdq(mid+,r);
 }
 int pos[N];
 long long ans[N];
 int main(){
     ios::sync_with_stdio(false);
     cin>>n>>m;
     for(int i=;i<=n;i++){
         cin>>a[i].y;a[i].x=i;pos[a[i].y]=i;
     }
     int x,all=n;
     for(int i=;i<=m;i++){
         cin>>x;
         a[pos[x]].t=all--;
     }
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(!a[i].t)
             a[i].t=all--;//
     }
     cdq(,n);
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans[i]=ans[i-]+yx[i]+ld[i];
     }
     for(int i=n;i>=n-m+;i--){
         cout<<ans[i]<<endl;
     }
 }