【BZOJ4571】[SCOI2016] 美味（主席树）

点此看题面

大致题意： 给你一个序列\(a\)，然后每次询问\(max_{i=l}^r(a_i+x)\ xor\ b\)。

大致思路

首先，我们要知道一个简单的性质：位运算时位与位之间是互不影响的。

而且，要注意：二进制数比大小先看高位。

所以，我们可以从高位往低位枚举，每次判断当前位置是否可以选择为\(1\)，且能选尽量选。

那么如何判断当前位是否可以选择为\(1\)呢？

判断当前位是否可以选择为\(1\)

假设当前处理到第\(i\)位，且当前答案为\(ans\)。

由于我们是从高位往低位枚举的，所以第\(i+1\)位\(\sim\)第\(17\)位（\(log_2100000≈17\)）实际上已经确定了。

因为我们要尽量让当前位置为\(1\)，所以就要让最后取值范围为\([ans+2^i,ans+2^{i+1}-1]\)，不难发现，这段区间内的数第\(i\)位都是\(1\)。

既然我们要让\((a_i+x)\text{^}b\in[ans+2^i,ans+2^{i+1}-1]\)，由于\(b\)是定值，不难想到将\(\in\)左边式子中的\(b\)移到右边去。

由于\(\text{^}\)运算的性质：\(a\text{^}b=c=>a=b\text{^}c\)，可得\(a_i+x\in[(ans+2^i)\text{^}b,(ans+2^{i+1}-1)\text{^}b]\)。

注意，由于第\(1\sim i\)位的数字我们是不管的，所以我们依然要将左边界第\(1\sim i\)位全部改为\(0\)，右边界第\(1\sim i\)位全部改为\(1\)。

即左边界\(L=(((ans+2^i)\text{^}b)>>i)<<i\)，右边界\(R=((((ans+2^{i+1}-1)\text{^}b)>>i)<<i)+2^i-1\)。

两边同时减去\(x\)，得：\(a_i\in[L-x,R-x]\)。

也就是说，如果\([l,r]\)范围内存在一个\(i\)满足\(a_i\in[L-x,R-x]\)，就可以将\(ans\)加上\(2^i\)了。

而这可以用主席树来进行维护。

于是这道题就做完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200000
#define Log 17
#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))
#define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))
using namespace std;
int n,a[N+5];
class Class_FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(ch) (void)(FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,Fsize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int Top,FoutSize;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Fout[Fsize],Stack[Fsize];
    public:
        Class_FIO() {A=B=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
        inline void writeln(int x) {if(!x) return pc('0'),pc('\n');while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);pc('\n');}
        inline void clear() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),FoutSize=0;}
}F;
class Class_ChairmanTree//主席树
{
    private:
        #define TreeSize 100000
        #define LogN 20
        int tot,Root[N+5];
        struct Tree
        {
            int Son[2],Size;
        }node[N*LogN+5];
        inline void ins(int l,int r,int &rt,int lst,int val)
        {
            if(node[rt=++tot]=node[lst],++node[rt].Size,!(l^r)) return;
            register int mid=l+r>>1;
            val<=mid?ins(l,mid,node[rt].Son[0],node[lst].Son[0],val):ins(mid+1,r,node[rt].Son[1],node[lst].Son[1],val);
        }
        inline bool qry(int l,int r,int rt1,int rt2,int ql,int qr)
        {
            if(ql<=l&&r<=qr) return node[rt2].Size^node[rt1].Size;
            register int mid=l+r>>1;
            return (ql<=mid&&qry(l,mid,node[rt1].Son[0],node[rt2].Son[0],ql,qr))||(qr>mid&&qry(mid+1,r,node[rt1].Son[1],node[rt2].Son[1],ql,qr));
        }
    public:
        inline void Init(int len,int *data) {for(register int i=1;i<=len;++i) ins(0,TreeSize,Root[i],Root[i-1],data[i]);}//初始化
        inline bool Query(int l,int r,int ql,int qr) {return Gmax(ql,0),Gmin(qr,TreeSize),ql<=qr?qry(0,TreeSize,Root[l-1],Root[r],ql,qr):false;}//询问第l~r个元素中是否有数字在[ql,qr]范围内
}ChairmanTree;
int main()
{
    register int i,query_tot,x,y,l,r,L,R,t,ans;
    for(F.read(n),F.read(query_tot),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);
    for(ChairmanTree.Init(n,a);query_tot;--query_tot)
    {
        for(F.read(x),F.read(y),F.read(l),F.read(r),ans=0,i=Log;~i;--i)//从高位向低位枚举
            L=ans+(1<<i),R=L+(t=(1<<i)-1),ChairmanTree.Query(l,r,(((L^x)>>i)<<i)-y,(((R^x)>>i)<<i)+t-y)&&(ans|=1<<i);//判断能否选择为1
        F.writeln(ans);//输出答案
    }
    return F.clear(),0;
}