「BZOJ3600」没有人的算术 替罪羊树+线段树

题目描述

过长……不想发图也不想发文字，所以就发链接吧……

没有人的算术

题解

\(orz\)神题一枚

我们考虑如果插入的数不是数对，而是普通的数，这就是一道傻题了——直接线段树一顿乱上就可以了。

于是我们现在只需要解决一个问题——维护这些数的大小关系。

由于这些数具有有序性，我们可以将这些数的值重记为一个数，这样就可以无脑地比较了。并且，由于这些值的大小可能会随着插入而更改，所以要用一棵平衡树来维护。

那么问题来了，这个数取什么值比较好呢？

首先当然可以是排名，不过如果使用排名，每次访问值的时候都要重新在平衡树中查一次，复杂度肯定是\(O(nlog^2n)\)的，基本不现实。

换一个角度可以发现，我们只需要知道大小关系，不需要排名，于是我们可以用实数维护一个数的大小，虽然相邻的数差值大小不同，只要相对大小是正确的就不必担心了……

那么我们可以这样看，在平衡树中每个节点维护一个区间\((l,r)\)，表示这棵子树中所有数值都在\((l,r)\)之中，而这棵子树的根的值为\(mid=\frac{(l+r)}{2}\)递归左右子树的时候，将区间分成\((l,mid)\)和\((mid,r)\)，完全满足二叉搜索树的性质，并且可以随时在任何位置新增一个数而不影响已有的数的数值。

那么问题就得到了解决，我们用一棵平衡树维护出现过的所有数对，节点上保存这个数对的两个父亲和\((l,r)\)，并用\(mid=\frac{(l+r)}{2}\)表示这个节点的数值，然后无脑做插入和询问即可。

但是我们忽略了一个问题，我们应该使用什么样的平衡树？发现那些基于旋转的平衡树在旋转后都会出现一个致命的问题，\((l,r)\)无法维护！因为一次旋转会使得它以及它的子树全部的\((l,r)\)都被改变，复杂度难以承受。于是我们想到了替罪羊树，基于重构的它反正都要全部拍扁了重来，重新为区间赋值不就可以在重构时顺便一起做了吗？

于是，这道题就这么被切掉了……

（内心：哪有说的这么简单）

总结：

替罪羊树的维护方式与\(AVL\)、\(SBT\)、\(Splay\)都不一样，后几种算法都是通过旋转维护平衡，然而替罪羊树却是用重构维护平衡，重构的时候可以重新计算值，不需要通过原来的值进行改变。所以替罪羊树可以维护的信息更加灵活，并且拍扁重建很欢乐常数小。于是替罪羊树非常适合套其他的数据结构……树套树时也要想一想能不能用替罪羊树……

吐槽：植树节到了我们一起来欢乐种树写替罪羊树模板吧！

\(Code:\)

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
#define M 800005
#define eps 1e-10
#define inf 1e20
#define equal(a, b) (fabs((a) - (b)) < eps)
#define val(a) (a == -1 ? -inf :(ls[a] + rs[a])/ 2)
#define lim 0.77
char opt[10];
int n, m;
void Insert(int q, int l, int r, int k, int a);
int getint()
{
	int p=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')p=p*10+c-'0',c=getchar();
	return p;
}
struct SCT
{
	int root, cnt, sz[M];
	int num, arr[M];
	int lc[M], rc[M];
	int lf[M], rf[M];
	double ls[M], rs[M];
	bool Equal(int u, int l, int r)
	{
		return equal(val(lf[u]), val(l)) && equal(val(rf[u]), val(r));
	}
	bool Less(int u, int l, int r)
	{
		return equal(val(lf[u]), val(l)) ? val(rf[u]) < val(r) : val(lf[u]) < val(l);
	}
	void Pushup(int q)
	{
		sz[q] = sz[lc[q]] + sz[rc[q]] + 1;
	}
	void Getarray(int q)
	{
		if (lc[q])
			Getarray(lc[q]);
		arr[++num] = q;
		if (rc[q])
			Getarray(rc[q]);
	}
	void Rebuild(int &q, int l, int r, double L, double R)
	{
		if (l > r)
		{
			q = 0;
			return;
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		double Mid = (L + R) / 2;
		q = arr[mid];
		ls[q] = L;
		rs[q] = R;
		Rebuild(lc[q], l, mid - 1, L, Mid);
		Rebuild(rc[q], mid + 1, r, Mid, R);
		Pushup(q);
	}
	void Maintain(int &q)
	{
		num = 0;
		Getarray(q);
		Rebuild(q, 1, num, ls[q], rs[q]);
	}
	void Add(int &q, int l, int r, double L, double R, int k)
	{
		if (!q)
		{
			q = ++cnt;
			lf[q] = l, rf[q] = r;
			ls[q] = L, rs[q] = R;
			sz[q] = 1;
			Insert(1, 1, n, k, cnt);
			return;
		}
		if (Equal(q, l, r))
		{
			Insert(1, 1, n, k, q);
			return;
		}
		if (Less(q, l, r))
			Add(rc[q], l, r, (L + R) / 2, R, k);
		else
			Add(lc[q], l, r, L, (L + R) / 2, k);
		Pushup(q);
	}
	void Check(int &q, int l, int r)
	{
		if (sz[q] * lim < sz[lc[q]] || sz[q] * lim < sz[rc[q]])
		{
			Maintain(q);
			return;
		}
		if (Equal(q, l, r))
			return;
		if (Less(q, l, r))
			Check(rc[q], l, r);
		else
			Check(lc[q], l, r);
	}
}T;
struct data
{
	int plc, num;
	data(){}
	data(int a, int b){plc = a, num = b;}
	double Val(){return (T.ls[num] + T.rs[num])/ 2;}
	data operator + (data b)
	{
		if (num == 1 && b.num == 1)
			return plc < b.plc ? *this : b;
		if (num == 1)
			return b;
		if (b.num == 1)
			return *this;
		if (equal(Val(), b.Val()))
			return plc < b.plc ? *this : b;
		if (Val() > b.Val())
			return *this;
		return b;
	}
};
struct SGT
{
	data a[N << 2];
}S;
void Insert(int q, int l, int r, int k, int a)
{
	if (l == k && r == k)
	{
		S.a[q] = data(k, a);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (k <= mid)
		Insert(q << 1, l, mid, k, a);
	else
		Insert(q << 1 | 1, mid + 1, r, k, a);
	S.a[q] = S.a[q << 1] + S.a[q << 1 | 1];
}
data Query(int q, int l, int r, int L, int R)
{
	if (l == L && r == R)
		return S.a[q];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (R <= mid)
		return Query(q << 1, l, mid, L, R);
	if (L > mid)
		return Query(q << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
	return Query(q << 1, l, mid, L, mid) + Query(q << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, R);
}
int main()
{
	n = getint(), m = getint();
	T.root = T.cnt = 1;
	T.lf[1] = T.rf[1] = -1;
	T.ls[1] = 0, T.rs[1] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		Insert(1, 1, n, i, 1);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%s", opt);
		if (opt[0] == 'Q')
		{
			int l = getint(), r = getint();
			printf("%d\n", Query(1, 1, n, l, r).plc);
		}
		else
		{
			int l = getint(), r = getint(), k = getint();
			l = Query(1, 1, n, l, l).num;
			r = Query(1, 1, n, r, r).num;
			T.Add(T.root, l, r, 0, 1, k);
			T.Check(T.root, l, r);
		}
	}
}