《数据结构》C++代码 堆（优先队列）

堆，是优先队列最常用的一种实现方式。在优先队列中，每个元素都被赋予了一个优先级，而每次出队时都让优先级最高的元素出队。堆，则是一种存储优先队列的方法，特指以一棵树形式存储的优先队列。最常用的是二叉堆，但既然是专门介绍数据结构，就不妨说全一些，我们取4个典型的堆进行比较，见下表（此表及表下备注，来自于广东省中山市第一中学黄源河前辈的《左偏树的特点及其应用》，并做过言辞修改及内容补充）：

项目	二叉堆	左偏树	二项堆	Fibonacci堆
构建	O(n)	O(n)	O(n)	O(n)
插入	O(logn)	O(logn)	O(logn)	O(1)
取最小点	O(1)	O(1)	O(logn)	O(1)
删除最小点	O(logn)	O(logn)	O(logn)	O(logn)
删除任意点	O(logn)	O(logn)	O(logn)	O(logn)
合并	O(n)	O(logn)	O(logn)	O(1)
空间需求	最小	较小	一般	较大
编程复杂度	最低	较低	较高	很高

在此说明几点：

0、二项堆又称Bernoulli堆，左偏树又称左堆；斜堆并未在表中列出，是由于其复杂度与左偏树相同，没必要单独列出。其代码更简单，但常数较大，且在特殊数据下可能退化成O(n)。它与左偏树的关系，就像Splay与AVL的关系，并无优劣之分，前者更简洁灵活而后者更快。另外，我并未谈及D堆，那是因为这类仅在接触外存才值得应用的堆，我并不想提及。大家在考试用不上，平时也用不上，故而在我看来暂时了解、理解就好，之后真正用到了再去深究不迟。

1、二项堆，其“取最小点”的复杂度是O(log n)，可以改进为O(1)。方法是，随时记录最小节点，并只在插入、删除以及合并等操作进行的时候更新该记录。

2、二项堆，其“插入”操作的平均时间复杂度为O(1)，表中给出的是最坏时间复杂度。

3、Fibonacci堆，其“删除最小点”和“删除任意点”两个操作的时间复杂度均为平摊时间复杂度。

可能大家并未了解全，那就请自行搜索吧，我在此仅仅给出实现代码。由于种类过多，我仅仅对每种堆给出一种最常见的实现方式（例如二叉堆仅仅给出数组实现法），大家视题目需要而融会贯通即可。另外，由于代码较长，为了方便大家比较，我仅仅给出类版，实际实现时，不写成类有时反而方便许多。

还有，我依旧假设每个元素的信息仅有一个int权值，这样可以让大家更关注代码的框架结构，而不至于在繁琐的代码中看得迷迷糊糊。真正使用时，如果元素信息增多，视情况修改即可。

代码：

 // 本代码所实现的是最小堆
 const int maxk = ;
 const int maxn = ;
 inline swap(int &x,int &y) { int t=x; x=y; y=t; }

 // 二叉堆
 // 实现了init、in、out操作
 class Two_Heap
 {
     int H[maxn+],L; // H[1~L]是堆中元素
     void up(int j)
     {
         int i=j>>;
         if(i== || H[i]<H[j]) return;
         swap(H[i],H[j]); up(i);
     }
     void down(int i)
     {
         int j=i<<;
         if(j<L && H[j+]<H[j]) ++j;
         if(j>L || H[i]<H[j]) return;
         swap(H[i],H[j]); down(j);
     }
 public:
     Two_Heap():L() {}
     void init(int A[],int N)
     {
         // 以一个数组A[1~N]去初始化堆，这是堆排中建堆的过程，复杂度O(N)
         L=N;
         for(int i=;i<=N;++i) H[i]=A[i];
         for(int i=N>>;i>=;--i) down(i); // 可以证明，从N/2开始调整即可，后N/2个点必然是叶子结点
     }
     void in(int x) { A[++L]=x; up(L); }
     int out() { swap(A[],A[L--]); down(); return A[L+]; }
     int min() { return A[]; }
 };

 // 未完待续