条件概率全概率公式-Tribles
条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
条件概率:在另外一个事件 B 已经发生的条件下,事件 A 发生的概率叫做在 A 对于 B 的条件概率,记作 \(p(A|B)\)。显然\(p(AB)=p(A|B)p(B)\)。于是有:\(p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}\)。
独立事件:若事件 B 是否发生对事件 A 的概率没有影响,即\(p(A|B)=p(A)\),则称事件 A, B 相互独立 (为独立事件)。将前面那个式子代入,可以发现若两个事件A和B独立,则\(p(AB)=p(A)p(B)\)。换句话说,就是当有A的时候,B事件发生的概率等于无A的时候发生的概率(\(\frac{p(AB)}{p(A)}=\frac{p(B)}{p(\Omega)}\))。用维恩图来理解:
第一幅图表示A,B独立,即\(p(AB)=p(A)p(B)\)。而如果把B往内移动一点,显然在有A事件发生的情况下,B事件发生的几率更大了(\(p(AB)/p(A)>p(B)/p(\Omega)\))。因此A,B便不是独立的了。把B往外移动一点也是如此。
注意独立事件和互斥事件的概念不同。互斥表示\(p(AB)=0\),独立表示\(p(AB)=p(A)p(B)\)。也就是说,互斥表示两个事件不能同时出现,独立表示两个事件没有关系。两个事件不能同时出现,表示两个事件是有关系的,也就是说互斥一定不独立。
完备事件组:若事件\(A_1,A_2,...,A_n\)满足\((i)A_i\cap A_j=\emptyset\quad(ii)a_1\cap ...\cap a_n=\Omega\),那么它们就是完备事件组。
全概率公式可以轻松推出:\(p(A)=\sum_{i=1}^{n}p(AB_i)=\sum_{i=1}^{n}p(A|B_i)p(B_i)\)(相当于一张大饼)。也有一些特殊形式:\(p(A)=p(AB)+p(A\bar{B})=p(A|B)p(B)+p(A|\bar{B})p(\bar{B})\)。
有 n 个怪物,每只怪物只能活一天,但是每个怪物在那天有 pi 的概率繁殖 i 个怪物 (0 ≤ i < l,且\(\sum_{i=0}^{l-1}p_i=1\)),求 (n 个怪物时为第 0 天) 第 m 天所有怪物都挂的概率。(m, l ≤ 1000)。
我们来看这道题:第m天所有怪物都挂的概率是第m天一个怪物系(也就是一个怪物和它的儿子)挂的概率的n次。以下讨论在一个怪物系中的情况:
记第k天所有怪物都挂的概率为\(f_k\),可以知道\(f_1\)就是第0天啥都不繁殖的概率,即\(f_1=p_0\)
考虑k>1的情况,令事件A为所有怪物在第k天全挂,事件\(B_i\)为第0天怪物繁殖i个,可以看出\(B_0, B_1, ..., B_{l-1}\)是\(\Omega\)的一个完备事件组。
可以看出,\(p(B_i)=p_i\),事件\(A|B_i\)表示第一天有i个怪物,结果到第k天全挂了,相当于一直第0天有i个怪物,结果到第k-1天全挂了。这是一个子问题,相当于\(f_{k-1}^i\)!所以根据全概率公式可得:$$f_k=p(A)=\sum_{i=0}{l-1}p(A|B_i)p(B_i)=\sum_{i=0}{l-1}f_{k-1}^ip_i$$
这个做法的精髓在于通过全概率公式发现重复子问题。
1 #include <cstdio>
2 using namespace std;
3
4 const int maxday=1005, maxbirth=1005;
5 int t, n, k, m;
6 double f[maxday], p[maxbirth];
7
8 int main(){
9 scanf("%d", &t);
10 for (int tt=0; tt<t; ++tt){
11 scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
12 for (int i=0; i<n; ++i)
13 scanf("%lf", &p[i]);
14 f[1]=p[0];
15 for (int i=2; i<=m; ++i){
16 double now=1; f[i]=0;
17 for (int j=0; j<n; ++j, now*=f[i-1])
18 f[i]+=now*p[j];
19 }
20 double ans=1;
21 for (int i=0; i<k; ++i) ans*=f[m];
22 printf("Case #%d: %.7lf\n", tt+1, ans);
23 }
24 return 0;
25 }
全概率公式有一个好~基~友,叫做贝叶斯公式。全概率公式揭示了一般概率和条件概率之间的关系,而 Bayes 公式揭示了几个条件概率之间的关系:
\(p(B_k|A)=\frac{p(A*B_k)}{p(A)}=\frac{p(A*B_k)}{\sum_{i-1}^np(A*B_i)}=\frac{p(A|B_k)p(B_k)}{\sum_{i=1}^np(A|B_i)p(B_i)}\)
(好累TwT……)
注意最后面那个分数还可以约来着。
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