条件概率全概率公式-Tribles

条件概率，全概率公式，贝叶斯公式

　　条件概率：在另外一个事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率叫做在 A 对于 B 的条件概率，记作 \(p(A|B)\)。显然\(p(AB)=p(A|B)p(B)\)。于是有：\(p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}\)。

　　独立事件：若事件 B 是否发生对事件 A 的概率没有影响，即\(p(A|B)=p(A)\)，则称事件 A, B 相互独立 (为独立事件)。将前面那个式子代入，可以发现若两个事件A和B独立，则\(p(AB)=p(A)p(B)\)。换句话说，就是当有A的时候，B事件发生的概率等于无A的时候发生的概率(\(\frac{p(AB)}{p(A)}=\frac{p(B)}{p(\Omega)}\))。用维恩图来理解：

​ 第一幅图表示A，B独立，即\(p(AB)=p(A)p(B)\)。而如果把B往内移动一点，显然在有A事件发生的情况下，B事件发生的几率更大了(\(p(AB)/p(A)>p(B)/p(\Omega)\))。因此A，B便不是独立的了。把B往外移动一点也是如此。

​ 注意独立事件和互斥事件的概念不同。互斥表示\(p(AB)=0\)，独立表示\(p(AB)=p(A)p(B)\)。也就是说，互斥表示两个事件不能同时出现，独立表示两个事件没有关系。两个事件不能同时出现，表示两个事件是有关系的，也就是说互斥一定不独立。

　　完备事件组：若事件\(A_1,A_2,...,A_n\)满足\((i)A_i\cap A_j=\emptyset\quad(ii)a_1\cap ...\cap a_n=\Omega\)，那么它们就是完备事件组。

　　全概率公式可以轻松推出：\(p(A)=\sum_{i=1}^{n}p(AB_i)=\sum_{i=1}^{n}p(A|B_i)p(B_i)\)（相当于一张大饼）。也有一些特殊形式：\(p(A)=p(AB)+p(A\bar{B})=p(A|B)p(B)+p(A|\bar{B})p(\bar{B})\)。

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有 n 个怪物，每只怪物只能活一天，但是每个怪物在那天有 pi 的概率繁殖 i 个怪物 (0 ≤ i < l，且\(\sum_{i=0}^{l-1}p_i=1\))，求 (n 个怪物时为第 0 天) 第 m 天所有怪物都挂的概率。(m, l ≤ 1000)。

​ 我们来看这道题：第m天所有怪物都挂的概率是第m天一个怪物系（也就是一个怪物和它的儿子）挂的概率的n次。以下讨论在一个怪物系中的情况：

　　记第k天所有怪物都挂的概率为\(f_k\)，可以知道\(f_1\)就是第0天啥都不繁殖的概率，即\(f_1=p_0\)

　　考虑k>1的情况，令事件A为所有怪物在第k天全挂，事件\(B_i\)为第0天怪物繁殖i个，可以看出\(B_0, B_1, ..., B_{l-1}\)是\(\Omega\)的一个完备事件组。

　　可以看出，\(p(B_i)=p_i\)，事件\(A|B_i\)表示第一天有i个怪物，结果到第k天全挂了，相当于一直第0天有i个怪物，结果到第k-1天全挂了。这是一个子问题，相当于\(f_{k-1}^i\)！所以根据全概率公式可得：$$f_k=p(A)=\sum_{i=0}^{{l-1}p(A|B_i)p(B_i)=\sum_{i=0}}{l-1}f_{k-1}^ip_i$$

　　这个做法的精髓在于通过全概率公式发现重复子问题。

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3
 4 const int maxday=1005, maxbirth=1005;
 5 int t, n, k, m;
 6 double f[maxday], p[maxbirth];
 7
 8 int main(){
 9     scanf("%d", &t);
10     for (int tt=0; tt<t; ++tt){
11         scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
12         for (int i=0; i<n; ++i)
13             scanf("%lf", &p[i]);
14         f[1]=p[0];
15         for (int i=2; i<=m; ++i){
16             double now=1; f[i]=0;
17             for (int j=0; j<n; ++j, now*=f[i-1])
18                 f[i]+=now*p[j];
19         }
20         double ans=1;
21         for (int i=0; i<k; ++i) ans*=f[m];
22         printf("Case #%d: %.7lf\n", tt+1, ans);
23     }
24     return 0;
25 }

​ 全概率公式有一个好～基～友，叫做贝叶斯公式。全概率公式揭示了一般概率和条件概率之间的关系，而 Bayes 公式揭示了几个条件概率之间的关系：

​ \(p(B_k|A)=\frac{p(A*B_k)}{p(A)}=\frac{p(A*B_k)}{\sum_{i-1}^np(A*B_i)}=\frac{p(A|B_k)p(B_k)}{\sum_{i=1}^np(A|B_i)p(B_i)}\)

​ （好累TwT……）

​ 注意最后面那个分数还可以约来着。