[codevs1746][NOI2002]贪吃的九头龙

试题描述

传说中的九头龙是一种特别贪吃的动物。虽然名字叫“九头龙”，但这只是说它出生的时候有九个头，而在成长的过程中，它有时会长出很多的新头，头的总数会远大于九，当然也会有旧头因衰老而自己脱落。

有一天，有 $M$ 个脑袋的九头龙看到一棵长有N 个果子的果树，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必须照顾到每个头，因此它需要把 $N$ 个果子分成 $M$ 组，每组至少有一个果子，让每个头吃一组。

这 $M$ 个脑袋中有一个最大，称为“大头”，是众头之首，它要吃掉恰好 $K$ 个果子，而且 $K$ 个果子中理所当然地应该包括唯一的一个最大的果子。果子由 $N-1$ 根树枝连接起来，由于果树是一个整体，因此可以从任意一个果子出发沿着树枝“走到”任何一个其他的果子。

对于每段树枝，如果它所连接的两个果子需要由不同的头来吃掉，那么两个头会共同把树枝弄断而把果子分开；如果这两个果子是由同一个头来吃掉，那么这个头会懒得把它弄断而直接把果子连同树枝一起吃掉。当然，吃树枝并不是很舒服的，因此每段树枝都有一个吃下去的“难受值”，而九头龙的难受值就是所有头吃掉的树枝的“难受值”之和。

九头龙希望它的“难受值”尽量小，你能帮它算算吗？

例如图 $1$ 所示的例子中，果树包含 $8$ 个果子，$7$ 段树枝，各段树枝的“难受值”标记在了树枝的旁边。九头龙有两个脑袋，大头需要吃掉 $4$ 个果子，其中必须包含最大的果子。即 $N=8$，$M=2$，$K=4$：

图一描述了果树的形态，图二描述了最优策略。

大头吃 $4$ 个果子，用实心点标识；

小头吃 $4$ 个果子，用空心点标识；

九头龙的难受值为 $4$，因为图中用细边标记的树枝被大头吃掉了。

输入

输入文件 dragon.in 的第 $1$ 行包含三个整数 $N (1 \le N \le 300)$，$M (2 \le M \le N)$，$K (1 \le K \le N)$。$N$ 个果子依次编号 $1,2, \cdots ,N$，且最大的果子的编号总是 $1$。第 $2$ 行到第 $N$ 行描述了果树的形态，每行包含三个整数 $a (1 \le a \le N)$，$b (1 \le b \le N)$，$c (0 \le c \le 105)$，表示存在一段难受值为 $c$ 的树枝连接果子 $a$ 和果子 $b$。

输出

输出文件 dragon.out 仅有一行，包含一个整数，表示在满足“大头”的要求的前提下，九头龙的难受值的最小值。如果无法满足要求，输出 $-1$。

输入示例

输出示例

数据规模及约定

见“输入”

题解

一开始看错题了，以为每个脑袋必须吃掉一个连通块，搞得我不知所措地以为还要树上双重背包。。。

由于树是一个二分图，所以当 $m > 2$ 时总可以让除了“大头”外的脑袋不吃树枝，但 $m = 2$ 时另一个脑袋也可能不得不吃树枝了。

那么就有一个显然的状态：$f(i, j, k)$ 表示对于苹果树的子树 $i$，其中 $j$ 个被“大头”吃掉，$k=1$ 时表示 $i$ 号苹果被大头吃，$k=0$ 时表示 $i$ 号苹果被其他头吃。然后就是一个树上背包了。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {

	int x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

#define maxn 310

#define maxm 610

int n, M, K, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], cost[maxm];

void AddEdge(int a, int b, int c) {

	to[++m] = b; cost[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;

	swap(a, b);

	to[++m] = b; cost[m] = c; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;

	return ;

}

int siz[maxn], f[maxn][maxn][2], tmp[maxn][2];

void upd(int& a, int b) {

	if(a < 0) a = b;

	else a = min(a, b);

	return ;

}

void dp(int u, int fa) {

	siz[u] = 1;

	f[u][0][0] = f[u][1][1] = 0;

	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) if(to[e] != fa) {

		dp(to[e], u);

		rep(i, 0, siz[u] + siz[to[e]]) tmp[i][0] = tmp[i][1] = -1;

		dwn(j, siz[u], 0) rep(s, 0, siz[to[e]]) {

			if(f[u][j][0] >= 0 && f[to[e]][s][0] >= 0) upd(tmp[j+s][0], f[u][j][0] + f[to[e]][s][0] + cost[e] * (M == 2));

			if(f[u][j][0] >= 0 && f[to[e]][s][1] >= 0) upd(tmp[j+s][0], f[u][j][0] + f[to[e]][s][1]);

			if(f[u][j][1] >= 0 && f[to[e]][s][0] >= 0) upd(tmp[j+s][1], f[u][j][1] + f[to[e]][s][0]);

			if(f[u][j][1] >= 0 && f[to[e]][s][1] >= 0) upd(tmp[j+s][1], f[u][j][1] + f[to[e]][s][1] + cost[e]);

		}

		siz[u] += siz[to[e]];

		rep(i, 0, siz[u]) f[u][i][0] = tmp[i][0], f[u][i][1] = tmp[i][1];

	}

	// rep(i, 0, siz[u]) printf("f[%d][%d]: %d %d\n", u, i, f[u][i][0], f[u][i][1]);

	return ;

}

int main() {

	n = read(); M = read(); K = read();

	if(n < M + K - 1) return puts("-1"), 0;

	rep(i, 1, n - 1) {

		int a = read(), b = read(), c = read();

		AddEdge(a, b, c);

	}

	memset(f, -1, sizeof(f));

	dp(1, 0);

	printf("%d\n", f[1][K][1]);

	return 0;

}