Matlab hermite

保形分段三次hermite插值

% 这是MATLAB里面的pchip.m文件。这里把它的凝视改写成汉语，主要是想弄清楚它是怎么计算在节点处的导数的。



function v = pchip(x,y,xx)

%输入：n个插值节点的纵坐标向量x；横坐标向量y；插值点xx。

%输出：分段三次Hermite插值结果。

%   PCHIP  Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial.

%   PP = PCHIP(X,Y)为X处的值Y提供了一种特定的保形分段三次厄尔米特插值（shape-preserving piecewise cubic Hermite interpolant）

%   的分段多项式形式，在后面的PPVAL和样条功能UNMKPP（spline utility UNMKPP）将用到这个函数。

%   X必须是个向量。

%   假设Y是个向量，则Y的第j个元素Y(j)被取为和X的第j个元素X(j)匹配的值，因此Y和X的长度必须一样。

%   假设Y是一个矩阵，或者N维数组，则Y(:,...,:,j)被取为和X(j)相匹配的值，因此Y的最后一维必须等于length(X).

%   YY = PCHIP(X,Y,XX)和YY = PPVAL(PCHIP(X,Y),XX)是一样的,因此在YY中给出了在XX处的插值。

%   PCHIP插值函数p(x)满足:

%   在每一个子区间X(k) <= x <= X(k+1),p(x)都是三阶Hermite插值多项式（给定插值点和两个端点的斜率）。

%   因而。p(x) interpolates Y,也就是说。p(X(j)) = Y(:,j),而且一阶导数Dp(x)是连续的，可是

%   二阶导数D^2p(x)可能不是连续的;在X(j)处可能会出现跳跃.

%   在X(j)处的斜率的选取方法。确保了p(x)是"shape preserving"和"respects monotonicity"的，

%   这意味着，在那些数据是单调的区间里，p(x)也是单调的；在那些数据是局部极值（local extremum）的点，

%   p(x)也取局部极值。

%

%  PCHIP与SPLINE的对照:

%   SPLINE提供的函数s(x)的构建方法和PCHIP里面的函数p(x)全然同样，仅仅只是在X(j)处的斜率的选择方法不一样，

%   SPLINE函数的s(x)在X(j)的二阶导数D^2s(x)也是连续的，这导致了例如以下结果：

%   SPLINE更加光滑。也就是说。D^2s(x)是连续的。

%   假设数据是一个光滑函数的值。则SPLINE更加精确。

%   假设数据不是光滑的，则PCHIP没有overshoots，也不太震荡（less oscillation）。

%   PCHIP建立的难度较小（is less expensive to set up）.

%   这两种函数预计的难度是一样的。



%   样条比pchip光滑，样条的两阶导数连续。而pchip一阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。

人的眼睛能够检測出图形上曲率的不连续。还有一方面，pchip是保形状的，而样条不一定保形状。



%

%   样例:

%     x = -3:3;

%     y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];

%     t = -3:.01:3;

%     plot(x,y,'o',t,[pchip(x,y,t); spline(x,y,t)])

%     legend('data','pchip','spline',4)

%

%   Class support for inputs x, y, xx:

%      float: double, single

%

%   还可參见INTERP1, SPLINE, PPVAL, UNMKPP.



% 參考文献:

%   F. N. Fritsch and R. E. Carlson, "Monotone Piecewise Cubic

%   Interpolation", SIAM J. Numerical Analysis 17, 1980, 238-246.

%   David Kahaner, Cleve Moler and Stephen Nash, Numerical Methods

%   and Software, Prentice Hall, 1988.

%

%   Copyright 1984-2004 The MathWorks, Inc.

%   $Revision: 1.7.4.4 $  $Date: 2004/03/02 21:47:53 $



% 检验数据的可接受性，假设不可接受，则对其进行适当的调整

[x,y,sizey] = chckxy(x,y);          %chckxy返回三个变量：x,y,和sizey。

可是不知道chckxy是什么意思。

n = length(x);                      %n为向量x的长度。也就是后面要用的节点数目。

h = diff(x);                        %diff表示把向量x的相邻元素相减。

得到h=[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(n)-X(n-1)]

m = prod(sizey);                    %



%确保插值点是实数

if nargin==3 && any(~isreal(reshape(xx,numel(xx),1)))

  error('MATLAB:pchip:ComplexInterpPts',...

        'The interpolation points should be real.')

end



%计算斜率

del = diff(y,1,2)./repmat(h,m,1);

% diff(y,n,dim)是在标量dim指定的维度上进行n次差分。假设阶数n等于或超过第dim维的长度，则diff返回一个空的数组。

% 比如y=[1 3 4 6 9 10 8 12];则diff(y,1,2)=[2 1 2 3 1 -2 4];

% repmat(h,m,1)把矩阵h在纵向方面复制m次。二者相除就是一阶差商。

slopes = zeros(size(y));                                % 设定一个全是0的向量。准备存放斜率数值。

for r = 1:m

      slopes(r,:) = pchipslopes(x,y(r,:),del(r,:));     %调用函数见下。

end



% 对上述值x,y,和斜率计算分段三次Hermite插值

v = pwch(x,y,slopes,h,del); v.dim = sizey;

if nargin == 3   % if values are wanted instead, provide them

   v = ppval(v,xx);

end







% 以下是计算节点处的斜率的函数pchipslopes------------------------------------------

function d = pchipslopes(x,y,del)

%PCHIPSLOPES Derivative values for shape-preserving Piecewise Cubic Hermite Interpolation.

% d = pchipslopes(x,y,del)计算一阶导数d(k)=P'(x(k)).



% 特殊情况：n=2,此时使用线性插值.

   n = length(x);

   if n==2 

      d = repmat(del(1),size(y));

      return

   end



%  内点（interior points）处的斜率.

%  假设第k个节点处的左右差商del(k-1)和del(k)符号同样，则设定d(k)等于二者的加权平均。

%  假设第k个节点处的左右差商del(k-1)和del(k)符号相反，或者当中一个为0。则设定d(k)=0.

   d = zeros(size(y));

   if isreal(del)                                          %假设del是实数。

k = find(sign(del(1:n-2)).*sign(del(2:n-1)) > 0);    %则把其左右差商同号的那个序号赋值给k.

   else

      k = find(~(del(1:n-2) == 0 & del(2:n-1) == 0));

   end

   h = diff(x);

   hs = h(k)+h(k+1);

   w1 = (h(k)+hs)./(3*hs);

   w2 = (hs+h(k+1))./(3*hs);

   dmax = max(abs(del(k)), abs(del(k+1)));

   dmin = min(abs(del(k)), abs(del(k+1)));

   d(k+1) = dmin./conj(w1.*(del(k)./dmax) + w2.*(del(k+1)./dmax));

%函数congj(a)返回数组a的每一个元素的共轭复数组成的数组。



  

%  区间端点处的斜率（end points）.

%  Set d(1) and d(n) via non-centered, shape-preserving three-point formulae.



   d(1) = ((2*h(1)+h(2))*del(1) - h(1)*del(2))/(h(1)+h(2));

   if isreal(d) && (sign(d(1)) ~= sign(del(1)))

      d(1) = 0;

   elseif (sign(del(1)) ~= sign(del(2))) && (abs(d(1)) > abs(3*del(1)))

      d(1) = 3*del(1);

   end

   d(n) = ((2*h(n-1)+h(n-2))*del(n-1) - h(n-1)*del(n-2))/(h(n-1)+h(n-2));

   if isreal(d) && (sign(d(n)) ~= sign(del(n-1)))

      d(n) = 0;

   elseif (sign(del(n-1)) ~= sign(del(n-2))) && (abs(d(n)) > abs(3*del(n-1)))

      d(n) = 3*del(n-1);

   end