Tarjan 算法总结

一些概念

连通：无向图中的任意两点都可以互相到达。

强连通：有向图中的任意两点都可以互相到达。

连通分量：无向图的极大连通子图。

强连通分量：有向图的极大强连通子图。

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DFS 生成树：对一张图（有向无向均可）进行深度优先遍历得到的生成树。

树边：在 DFS 生成树上的边。

前向边：由子树的根连向子树内的非树边。

返祖边：由结点连向其祖先的边。

横叉边：除上面三种之外的边。

求强连通分量

对于结点 \(u\)，记录两个信息 \(dfn_u\) 和 \(low_u\)。

\(dfn\) 表示时间戳，即第几个被遍历到的点。

\(low\) 表示从当前点开始，经过的边的两个端点均未处在已找出的强连通分量中，能到达最小的时间戳。

在 dfs 的过程中，将经过的点塞进一个栈里面。一旦发现 \(dfn_u=low_u\) 就一直弹栈直至弹出结点 \(u\)，弹出的这些点就构成了一个强连通分量。

然后考虑如何求出 \(low_u\)，枚举 \(u\) 的每条出边 \((u,v)\)。

• 结点 \(v\) 未遍历过，先递归处理该点，这样 \((u,v)\) 就成了树边，然后 \(low_u\gets\min(low_u,low_v)\)。

• 结点 \(v\) 已遍历过。

  • 结点 \(v\) 处在一个已找出的强连通分量中，根据定义直接跳过。
  • 结点 \(v\) 未处在已找出的强连通分量中，这样 \((u,v)\) 就成了非树边，同样地，\(low_u\gets\min(low_u,low_v)\)。

\(low\) 数组其实是在找一条向上的路径，而两个强连通分量是不可能有公共点的，所以我们才会有经过边的限制。

但是还有一个问题，\(low\) 数组有时会不能更新完全，怎么办呢？

按照边 \(1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 6\) 的顺序走，仔细分析可以发现，\(low_3\) 没有更新完全的原因是 \(low_2\) 没有更新完全，而不是 \(low_3\gets \min(low_3,low_2)\) 导致的。

所以问题出在已遍历过的情况中。

但其实是没有关系的，\(low\) 数组的目的仅仅是判断当前强连通块是否能够继续向上合并。

所以可以在将 \(low_v\) 换成 \(dfn_v\)。

那么算法的正确性就很显然了，在合法的情况下（\(low\) 的定义）尽可能将当前强连通分量扩大。