【HNOI2011】数学作业 题解（递推+矩阵快速幂）

题目链接

题目大意：求$1-n$所拼接起来的数$mod\ m$的值。

-----------------------------------

递推式子很好想：$f_i=f_{i-1}*10^{\lg i+1}+i$

看到数据范围，肯定不能$O(n)$递推。考虑矩阵加速。

转移矩阵为：

$\begin{pmatrix}10^k&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

因为$10^k$是不确定的，所以我们要根据范围来分情况作乘法。详见代码。

PS:这个题我调了好久……要注意幂的大小和矩阵初始化。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,mod,cnt;
struct node
{
    int a[][];
    node(){
        memset(a,,sizeof(a));
    }
    inline void build(){
        for (int i=;i<=;i++) a[i][i]=;
    }
}ans;
node operator *(const node x,const node y)
{
    node z;
    for (int k=;k<=;k++)
        for (int i=;i<=;i++)
            for (int j=;j<=;j++)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
    return z;
}
inline int qcal(int x,int y)
{
    int res=;
    while(y){
        if (y&) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=;
    }
    return res%mod;
}
signed main()
{
    cin>>n>>mod;
    ans.build();
    for (int i=;;i*=)
    {
        cnt++;int mi;
        node a;a.a[][]=qcal(,cnt);
        a.a[][]=a.a[][]=a.a[][]=a.a[][]=a.a[][]=;
        if (n<i*)
        {
            mi=n-i+;
            while(mi)
            {
                if (mi&) ans=ans*a;
                a=a*a;
                mi>>=;
            }
            int sum=ans.a[][];
            printf("%lld",sum%mod);
            return ;
        }
        mi=i*;
        while(mi)
        {
            if (mi&) ans=ans*a;
            a=a*a;
            mi>>=;
        }
    }
    return ;
}