洛谷P3746 [六省联考2017]组合数问题

题目描述

组合数 C_n^mCnm 表示的是从 n 个互不相同的物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1;2;3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C_n^mCnm 的一般公式：

C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm=m!(n−m)!n!

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。（特别的，当 n = 0 时， n! = 1 ，当 m > n 时， C_n^m =0Cnm=0 ）

小葱在 NOIP 的时候学习了 C_i^jCij 和 k 的倍数关系，现在他想更进一步，研究更多关于组合数的性质。小葱发现， C_i^jCij 是否是 k 的倍数，取决于 C_i^j mod kCijmodk 是否等于 0，这个神奇的性质引发了小葱对 mod 运算（取余数）的兴趣。现在小葱选择了是四个整数n; p; k; r，小葱现在希望知道

\sum_{i=0}^{\inf} C_{nk}^{ik+r} mod p∑i=0infCnkik+rmodp

的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行有四个整数 n; p; k;r，所有整数含义见问题描述。

输出格式：

一行一个整数代表答案。

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2 10007 2 0

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20 10007 20 0

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说明

• 对于 30% 的测试点， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是质数；

• 对于另外 5% 的测试点， p = 2；

• 对于另外 5% 的测试点， k = 1；

• 对于另外 10% 的测试点， k = 2；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是质数；

• 对于另外 10% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；

• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

作为省选的T3出题人居然给了60分的暴力分，太良心了QWQ..

不过正解是死活想不到啊

设$C[i][j]$表示从$i$个元素中，拿所有满足$x \%k=j $ 的 $x$个元素的方案数

那么对于第$i$个元素，

不选的方案数为$C[i-1][j]$

选的方案数为$C[i-1][(j-1+k)%k]$

很显然

可以用矩阵快速幂优化

然后就做完了

这题的关键是把杨辉三角的递推与题目中给出的式子相结合，找到题目中式子的一般规律，

进而通过更高科技的算法优化

注意$k=1$的特殊情况

#include<cstdio>

#include<queue>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#define int long long

using namespace std;

const int MAXN=1e6;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int N,mod,k,r;

int C[][];

struct Matrix

{

    int a[][];

    Matrix(){memset(a,,sizeof(a));}

};

Matrix mul(Matrix x,Matrix y)

{

    Matrix c;

    for(int kk=;kk<=k-;kk++)

        for(int i=;i<=k-;i++)

            for(int j=;j<=k-;j++)

                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+x.a[i][kk]*y.a[kk][j]%mod)%mod;

    return c;

}

void out(Matrix x)

{

    for(int i=;i<=k-;i++,puts("\n"))

        for(int j=;j<=k-;j++)

            printf("%d ",x.a[i][j]);

}

Matrix fastpow(Matrix a,int p)

{

    Matrix base;

    for(int i=;i<=k;i++) base.a[i][i]=;

    while(p)

    {

        if(p&) base=mul(base,a);

        a=mul(a,a);

        p>>=;

    }

    return base;

}

main()

{

    #ifdef WIN32

    freopen("a.in","r",stdin);

    #endif

    N=read(),mod=read(),k=read(),r=read();

    Matrix tmp;

    for(int i=;i<=k-;i++)

        tmp.a[i][i]=tmp.a[i][i+]=;

    tmp.a[k-][]++;tmp.a[k-][k-]++;

    Matrix ans;

    ans.a[][]=;

    tmp=fastpow(tmp,N*k);

    ans=mul(ans,tmp);

    printf("%lld",ans.a[][r]);

    return ;

}