【HDU4652】Dice（数学期望，动态规划）

【HDU4652】Dice（数学期望，动态规划）

题面

Vjudge

有一个\(m\)面骰子

询问，连续出现\(n\)个相同的时候停止的期望

连续出现\(n\)个不同的时候停止的期望

题解

考虑两种分开询问来算。

第一种：

设\(f[i]\)表示已经有连续的\(i\)个相同时，到达目标状态的期望。

\[f[i]=\frac{1}{m}f[i+1]+\frac{m-1}{m}f[1]+1
\]

相邻两项作差，得到

\[m(f[i+1]-f[i])=f[i+2]-f[i+1]
\]

按照顺序列出来

\(f[0]-f[1]=1\)

\(f[1]-f[2]=m\)

\(f[2]-f[3]=m^2\)

...

\(f[n-1]-f[n]=m^{n-1}\)

将所有式子相加起来

\(f[0]-f[n]=\frac{m^n-1}{1-m}\)

\(f[n]=0\)，这样就知道了\(f[0]\)

所以

\[Ans=f[0]=\frac{m^n-1}{1-m}
\]

---

考虑第二种询问

设\(f[i]\)表示连续\(i\)个不同的数字，到达目标状态的期望

\[f[i]=\frac{m-i}{m}f[i+1]+\frac{f[1]+f[2]+f[3]+...f[i-1]+f[i]}{m}
\]

还是相邻两项作差让后相加，算出答案

\[Ans=\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{i}\frac{m}{m-j}
\]

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double Solve1(int m,int n){return (pow(m,n)-1.0)/(m-1.0);}
double Solve2(int m,int n)
{
	double ret=1,d=1;
	for(register int j=1;j<n;++j)d=1.0*m/(m-j)*d,ret+=d;
	return ret;
}
int main()
{
	register int T,opt,n,m;
	while(scanf("%d",&T)!=EOF)while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d",&opt,&m,&n);
		printf("%.9lf\n",!opt?Solve1(m,n):Solve2(m,n));
	}
}