[CSAcademy]Colored Forests

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description

有\(M\)种颜色编号为\(1-M\)。现给树上的每个点染上这\(M\)种颜色中的一种，定义一棵树是\(\mbox{colorful}\)的当且仅当这棵树上\(M\)种颜色都出现了至少一次。定义一片森林是\(\mbox{colorful}\)的当且仅当其中的每一棵树都是\(\mbox{colorful}\)的。

求\(n\)点带标号的\(\mbox{colorful}\)的森林的数量模\(924844033\)。

\(n\le10^5,m\le50\)

\(Hint:924844033=2^{21}\times441+1\)，它的原根是\(5\)。

sol

首先求出\(n\)点构成一棵\(\mbox{colorful}\)的树的方案数\(g_n\)。

\[g_n=\begin{cases}1&n=1\\n^{n-2} \times S(n,m) \times m!&n\ge2\end{cases}
\]

\(n^{n-2}\)是带标号完全图生成树的方案数，后面的第二类斯特林数乘阶乘的组合意义就是把\(n\)个不同的球放入\(m\)个不同的盒子里且不允许空盒的方案数。

然后设\(f_n\)表示答案，考虑新加入的第\(n\)号点和那些点连通构成一棵树：

\[f_n=\sum_{i=1}^ng_i\binom{n-1}{i-1}f_{n-i}
\]

把组合数拆开就是一个卷积的形式，直接分治法法塔即可。复杂度\(O(n\log^2n)\)

懒得写求逆了

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 4e5+5;
const int mod = 924844033;
int n,m,jc[N],jcn[N],S[N][105],g[N],f[N],rev[N],og[N],x[N],y[N];
int fastpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return res;
}
void ntt(int *P,int opt,int len){
	int l=0;while((1<<l)<len)++l;--l;
	for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
	for (int i=0;i<len;++i) if (i<rev[i]) swap(P[i],P[rev[i]]);
	for (int i=1;i<len;i<<=1){
		int W=fastpow(5,(mod-1)/(i<<1));
		if (opt==-1) W=fastpow(W,mod-2);
		og[0]=1;for (int j=1;j<i;++j) og[j]=1ll*og[j-1]*W%mod;
		for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
			for (int k=0;k<i;++k){
				int x=P[j+k],y=1ll*og[k]*P[j+k+i]%mod;
				P[j+k]=(x+y)%mod;P[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
			}
	}
	if (opt==-1) for (int i=0,Inv=fastpow(len,mod-2);i<len;++i) P[i]=1ll*P[i]*Inv%mod;
}
void solve(int l,int r){
	if (l==r) return;int mid=l+r>>1;solve(l,mid);
	int len=1;while(len<=r-l+1)len<<=1;
	for (int i=0;i<len;++i) x[i]=y[i]=0;
	for (int i=l;i<=mid;++i) x[i-l]=1ll*f[i]*jcn[i]%mod;
	for (int i=1;i<=r-l;++i) y[i-1]=1ll*g[i]*jcn[i-1]%mod;
	ntt(x,1,len);ntt(y,1,len);
	for (int i=0;i<len;++i) x[i]=1ll*x[i]*y[i]%mod;
	ntt(x,-1,len);
	for (int i=mid+1;i<=r;++i) f[i]=(f[i]+1ll*x[i-l-1]*jc[i-1])%mod;
	solve(mid+1,r);
}
int main(){
	n=gi();m=gi();
	jc[0]=jcn[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
	jcn[n]=fastpow(jc[n],mod-2);
	for (int i=n;i;--i) jcn[i-1]=1ll*jcn[i]*i%mod;
	S[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=i&&j<=m;++j)
			S[i][j]=(1ll*S[i-1][j]*j+S[i-1][j-1])%mod;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		g[i]=1ll*(i==1?1:fastpow(i,i-2))*S[i][m]%mod*jc[m]%mod;
	f[0]=1;solve(0,n);
	for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",f[i]);return 0;
}