计算误差——ACM计算几何中的精度问题

• 浮点数为何会有精度问题

	占字节数	数值范围	十进制精度位数
float	4	-3.4e-38~3.4e38	6~7
double	8	-1.7e-308~1.7e308	14~15

如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低，一般选用double。14位的精度(是有效数字位，不是小数点后的位数)通常够用了。注意，问题来了，数据精度位数达到了14位，但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高，可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢？自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题：即使是理论上相同的值，由于是经过不同的运算过程得到的，他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响，却会一种运算产生致命的影响: ==。恩，就是判断相等。注意，C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:

#include <iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

int main()
{
    double a=asin(sqrt(2.0)/2)*4.0;
    double b=acos(-1.0);
    printf("a =%.20lf\n",a);
    printf("b =%.20lf\n",b);
    printf("a-b=%.20lf\n",a-b);
    printf("a==b = %d\n",a==b);

    return 0;
}

解决办法，引进eps，辅助判断浮点数相等

• eps（epsilon）

eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后我们判断两浮点数a,b相等的方式是：

定义三出口函数：int sgn(double a){ return a< -eps?-1:a< eps?0:1;}

则各种判断大小的运算都应做如下修改：

传统意义	修正写法1	修正写法2
a==b	sgn(a-b) ==0	fabs(a -b) <eps
a!=b	sgn(a-b) !=0	fabs(a-b)>eps
a<b	sgn(a-b)<0	a-b<-eps
a<=b	sgn(a-b)<=0	a-b<eps
a>b	sgn(a-b)>0	a-b>eps
a>=b	sgn(a-b)>=0	a-b>-eps

这样才能把相差非常近的浮点数判为相等，相差较大的数判为不等。

ps:养成好习惯，尽量不要对浮点数用==判断。修正写法2中就没有等号