模拟赛01 T3 盖房子

题面

http://zhengruioi.com/problem/248

题解

三重容斥（说是两重也行吧）

我们来看题目的约束

①有k个位置不能放（k≤8）

②每行每列至少一个

③正负对角线至少一个

④正好放n个

首先对于约束① 我们用$2^k$的容斥 也就是枚举$2^k$种放的方式，算出来之后加加减减就行了

对于约束③ 我们枚举每条对角线能不能放 然后solve(1,1)-solve(1,0)-solve(0,1)+solve(0,0)就是答案 1表示能放，0表示不能放

然后问题变成了

在一个格子图上，有$k$个点已经放上房子$(1 \leq k \leq 8)$，主对角线和副对角线有一些不能放房子，问每行每列正好放一个，一共放$n$个房子的方案数

我们把已经放上格子的去掉，并且把那一行和那一列都去掉，这样对角线可能会变成扭曲的形状，但是就没有了已经放上房子的条件

然后我们把行列交换 因为无论怎么交换一整行或者一整列，都不影响答案 交换之后我们使得主对角线和副对角线上相互影响的格子放到一起

例子：

我们这样做：

先不删格子 然后把第n行放到第一行下面，第n-1行放到第二行下面……

然后把第n列放到第一列右边，第n-1列放到第二列右边……

这样我们可以把互相影响的四个格子并起来 变成从左上角到右下角一堆2*2的格子 可能加上一个单独的格子（n为奇数）

然后再删格子

我们用f[i][j]表示当前考虑到第i个“格子的并”，当前放了j个房子，然后看第i个“格子的并”能放几个房子（０～２个），更新答案

然后我们就得到$f[cnt][k]*A_{m-k}^{n-k}$表示在这个图里，假设n<=m，对角线上放k个房子的方案数

这样再加一加，算一算就得到了答案