【Bzoj3944】杜教筛模板（狄利克雷卷积搞杜教筛）

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　　哇杜教筛超炫的

　　有没有见过$O(n^\frac{2}{3})$求欧拉函数前缀和的算法？没有吧？蛤蛤蛤

　　首先我们来看狄利克雷卷积是什么

　　首先我们把定义域是整数，陪域是复数的函数叫做数论函数。

　　然后狄利克雷卷积是个函数和函数的运算。

　　比如说有两个数论函数f,g

　　那么它们的狄利克雷卷积就是f*g，记为h

　　然后我们惊奇地发现$h(i)=\sum\limits_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$

　　而且狄利克雷卷积好像是个群，然后它就能满足交换律结合律分配律balaba

　　那么这个玩意有什么卵用呢？

　　（显然它很有卵用）

　　我们再说一个数论函数叫单位元。

　　e(1)=1　e(n)=0(n>1)

　　然后我们发现任意函数f(x)有f*e=f

　　然后就引出我们的杜教筛，这里计算莫比乌斯函数的前缀和

　　设$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}miu(i)$

　　然后我们随便代一个数论函数g，套上狄利克雷卷积

　　$\sum\limits_{i=1}^{n}(g*miu)(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}miu(\frac{i}{d})g(d)$

　　$=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{d|i}miu(\frac{i}{d})g(d)$

　　$=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}miu(i)$

　　$=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$
　　所以说$g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$

　　　　　　　$=\sum\limits_{i=1}^{n}(g*miu)(i)-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$

　　然后我们惊奇的发现，如果我们设g(x)=1

　　因为1*miu=e（因为有个定理是$\sum\limits_{d|n}miu(d)=$　　n=1时1，n>1时0）

　　那么这玩意就变成了$S(n)=1-\sum\limits_{i=2}^{n}S(\frac{n}{d})$

　　然后这个玩意可以先用线性筛求出$n^\frac{2}{3}$的前缀和，然后用这个表达式应用数论分块，递归搞搞就好了

　　就问炫不炫

　　

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<map>
#define maxn 5000000
using namespace std;
inline long long read(){
    long long num=,f=;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

int prime[maxn],tot;
bool s[maxn];
long long phi[maxn];
long long miu[maxn];
map<int,long long>_phi,_miu;

long long calcmiu(long long n){
    if(n<maxn)    return miu[n];
    if(_miu.count(n)) return _miu[n];
    long long x=,ans=;
    while(x<=n){
        long long y=n/(n/x);
        ans-=calcmiu(n/x)*(y-x+);
        x=y+;
    }
    return _miu[n]=ans;
}

long long calcphi(long long n){
    if(n<maxn)    return phi[n];
    if(_phi.count(n)) return _phi[n];
    long long x=,ans=n*(n+)/;
    while(x<=n){
        long long y=n/(n/x);
        ans-=calcphi(n/x)*(y-x+);
        x=y+;
    }
    return _phi[n]=ans;
}

int main(){
    int T=read();
    s[]=;miu[]=;phi[]=;miu[]=;phi[]=;
    for(int i=;i<maxn;++i){
        if(!s[i]){
            s[i]=;
            phi[i]=i-;
            miu[i]=-;
            prime[++tot]=i;
        }
        for(int j=;j<=tot&&prime[j]*i<maxn;++j){
            s[prime[j]*i]=;
            if(i%prime[j]){
                miu[i*prime[j]]=-miu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
            }
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                miu[i*prime[j]]=;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=;i<maxn;++i){
        phi[i]+=phi[i-];
        miu[i]+=miu[i-];
    }
    while(T--){
        long long n=read();
        printf("%lld %lld\n",calcphi(n),calcmiu(n));
    }
    return ;
}