传送门

引入两个概念:

最小点权覆盖集:满足每一条边的两个端点至少选一个的最小权点集。

最大点权独立集:满足每一条边的两个端点最多选一个的最大权点集。

现在对网格染色,使得相邻两点颜色不同,之后把两个颜色的点分成两个集合X,Y。S向X集合每个点连一条该点权值的边,Y集合每个点向T连一条该点权值的边,原来的边流量全部变为INF。这个网络的最小割为最小点权覆盖集。因为这个最小割满足了,对于中间每一条边,两端的点必定选择了一个。若一个都没有选择则S与T仍连通。且因为中间的边流量为INF所以不会是中间被堵塞。

然后我们可以证明对于每一个点权覆盖集,将选的点不选,不选的点选,得到的点集一定是一个点权独立集。因为每一条边至少选了一个,反选后就至少有一个选不了。

所以该网络的最小割=最大流=权值和-答案

答案就是权值和-最大流,跑一遍最大流即可

——代码

 #include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define INF 1e9
#define N 10010
#define M 50001
#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y)) int n, m, cnt, sum, s, t, num;
int head[N], to[M], val[M], next[M], dis[N], cur[N];
int map[][], dx[] = {, , -, }, dy[] = {, , , -}; inline int read()
{
int x = , f = ;
char ch = getchar();
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = -;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << ) + (x << ) + ch - '';
return x * f;
} inline void add(int x, int y, int z)
{
to[cnt] = y;
val[cnt] = z;
next[cnt] = head[x];
head[x] = cnt++;
} inline bool bfs()
{
int i, u, v;
std::queue <int> q;
memset(dis, -, sizeof(dis));
q.push(s);
dis[s] = ;
while(!q.empty())
{
u = q.front(), q.pop();
for(i = head[u]; i ^ -; i = next[i])
{
v = to[i];
if(val[i] && dis[v] == -)
{
dis[v] = dis[u] + ;
if(v == t) return ;
q.push(v);
}
}
}
return ;
} inline int dfs(int u, int maxflow)
{
if(u == t) return maxflow;
int v, d, ret = ;
for(int &i = cur[u]; i ^ -; i = next[i])
{
v = to[i];
if(val[i] && dis[v] == dis[u] + )
{
d = dfs(v, min(val[i], maxflow - ret));
ret += d;
val[i] -= d;
val[i ^ ] += d;
if(ret == maxflow) return ret;
}
}
if(ret ^ maxflow) dis[u] = -;
return ret;
} int main()
{
int i, j, k, x, y;
m = read();
n = read();
s = , t = n * m + ;
memset(head, -, sizeof(head));
for(i = ; i <= m; i++)
for(j = ; j <= n; j++)
{
num++;
sum += x = read();
if((i + j) & )
{
add(s, num, x), add(num, s, );
if(i > ) add(num, num - n, INF), add(num - n, num, );
if(i < m) add(num, num + n, INF), add(num + n, num, );
if(j > ) add(num, num - , INF), add(num - , num, );
if(j < n) add(num, num + , INF), add(num + , num, );
}
else add(num, t, x), add(t, num, );
}
while(bfs())
{
for(i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
sum -= dfs(s, INF);
}
printf("%d\n", sum);
return ;
}

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