bzoj 2792 [Poi2012]Well 二分+dp+two_pointer

题目大意

给出n个正整数X1,X2,...Xn，可以进行不超过m次操作，每次操作选择一个非零的Xi，并将它减一。

最终要求存在某个k满足Xk=0，并且z=max{|Xi - Xi+1|}最小。

输出最小的z和此时最小的k。

第一行两个正整数n, m (1<=n<=1,000,000, 1<=m<=10^18)。第二行n个正整数X1,X2,...Xn (Xi<=10^9)。

分析

我们考虑简单点的问题

我们要最小化z，考虑二分

对于没有要求变成0的问题

我们会尽可能使每个数操作后最大

因为没有+1操作

两个数相差大于mid时

只能大的数减下去

b[i]表示每个数最大是多少

从左往右扫一次,\(b[i]=min(b[i],b[i-1]+mid)\)

从右往左扫一次,\(b[i]=min(b[i],b[i+1]+mid)\)

然后我们枚举将哪一个数变成0

设枚举到i

我们只用找到最大的L满足\(b[L]<=(i-L)*mid\)

找到最小的R满足\(b[R]<=(R-i)*mid\)

此时（L，R）中的数一定要修改

修改成等差数列

稍微想一想可以证明此时对区间外的数没有任何影响

右注意到随着i增加，L-R区间也单调右移

two-pointer一下

solution

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M=1000007;

int n;
LL lim,ss=0;
int a[M];
int b[M];
LL s[M];

LL calc(LL d,LL l){
    return d*(l*(l+1)/2);
}

int check(int del){
    LL c1=0,c2=0;
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i];
    for(i=2;i<=n;i++) b[i]=min(b[i],b[i-1]+del);
    for(i=n-1;i>0;i--) b[i]=min(b[i],b[i+1]+del);
    for(i=1;i<=n;i++){
        c1+=a[i]-b[i];
        s[i]=b[i]+s[i-1];
    }
    if(c1>lim) return 0;
    int l=1,r=2;
    for(i=1;i<=n;i++){
        while(l<i&&b[l]<=(i-l)*del) l++;
        while(r<=n&&b[r]>(r-i)*del) r++;
        c2=s[r-1]-s[l-1];
        c2-=calc(del,i-l);
        c2-=calc(del,r-1-i);
        if(c1+c2<=lim) return i;
    }
    return 0;
}

void solve(){
    if(ss<=lim) {printf("1 0\n");return;}
    int res=0,tp;
    int l=1,r=1000000000,mid;
    while(l<r){
        mid=l+r>>1;
        tp=check(mid);
        if(tp){
            r=mid;
            res=tp;
        }
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d %d\n",res,l);
}

inline int rd(){
    int x=0;bool f=1;char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
    return f?x:-x;
}

int main(){
    int i;
    scanf("%d%lld",&n,&lim);
    for(i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),ss+=a[i];
    solve();
    return 0;
}