luogu4464：莫比乌斯反演，积性函数和伯努利数

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4464

简记$gcd(x,y)=(x,y)$。

推式子：

$\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^xlcm(i,n)^y}$

$=\sum_{i=1}^{n}{(i,n)^{x-y}(in)^y}$

$=n^y\sum_{d|n}d^{x-y}\sum_{i}i^y[(i,n)=d]$

$=n^y\sum_{d|n}{d^{x-y}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{(id)^y[(i,\frac{n}{d})=1]}}$

$=n^y\sum_{d|n}{d^x\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{i^y[(i,\frac{n}{d})=1]}}$

$=n^y\sum_{d|n}{d^x\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}{i^y\sum_{k|(i,\frac{n}{d})}{\mu(k)}}}$

改变最后的求和式的顺序，注意k的取值要整除$\frac{n}{d}$。

$=n^y\sum_{d|n}{d^x\sum_{k|\frac{n}{d}}{\mu(k)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{dk}}{(ik)^y}}$

$=n^y\sum_{d|n}{d^x\sum_{k|\frac{n}{d}}{\mu(k)k^y}\sum_{i=1}^{\frac{n}{dk}}{i^y}}$

若我们把最后的和式看成是一个y+1次的多项式，它的第i项系数为$t_i$，那么

$=n^y\sum_{j=1}^{y+1}{t_i}\sum_{d|n}{d^x\sum_{k|\frac{n}{d}}{\mu(k)k^y}(\frac{n}{dk})^j}$

（注意最后一项的变化）

注意到后面所有的形式都是积性函数的卷积，因此我们尝试一个质数的若干次方的贡献，最后将其相乘就得到某一个对应的j的答案。

于是对于固定的$d=p^q,n=p^w$，最后一个和式的贡献为$(p^{w-q})^j-p^y(p^{w-q-1})^j$（分别考虑$d=1$和$d=p$）。特别地，若$d=n$，那么贡献为1。如果我们能快速得到所有$t_i$，那么就能在$O(n^{0.25}logn+ylog^3n)$的复杂度完成一次询问。

考虑如何得到$t_i$。一种方法是使用插值，这里讨论使用伯努利数的方法（应用，证明看https://www.luogu.com.cn/blog/chihik/bo-nu-li-shu）。

递归定义：$\sum_{i=0}^{n}{\tbinom{n+1}{i}B_i=[n=0]}$

令$S_m(n)=\sum_{i=0}^{n-1}{i^m}$，那么$S_m(n)=\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}{\tbinom{m+1}{i}B_in^{m+1-i}}$

于是对于上面的y+1次多项式，有$S_y(\frac{n}{dk})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{dk}-1}{i^y}=\frac{1}{y+1}\sum_{i=0}^{y}{\tbinom{y+1}{i}{B_i(\frac{n}{dk})^{y+1-i}}}$，所以$t_{y+1-i}=\frac{1}{y+1}\tbinom{y+1}{i}B_i$。（它的零次项系数为0！（这是感叹号，不是阶乘））

但我们注意到少了一项$(\frac{n}{dk})^y$，因此$t_y$需要增加1（对应了$i=1$）。

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 typedef long long int ll;
  4 typedef long double ld;
  5 namespace MATH
  6 {
  7     inline ll mul(ll x,ll y,ll mod)
  8     {
  9         return ((x*y-(ll)((ld)x*y/mod)*mod)%mod+mod)%mod;
 10     }
 11     inline ll qpow(ll x,ll y,ll mod)
 12     {
 13         ll ans=1,base=x;
 14         while(y)
 15         {
 16             if(y&1)
 17                 ans=mul(ans,base,mod);
 18             base=mul(base,base,mod);
 19             y>>=1;
 20         }
 21         return ans;
 22     }
 23     const int prime[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
 24     const int LEN=10;
 25     inline bool miller(ll x)
 26     {
 27         for(int i=0;i<LEN;++i)
 28         {
 29             if(x<prime[i])
 30                 return false;
 31             else if(x==prime[i])
 32                 return true;
 33             ll now=x-1,y=qpow(prime[i],x-1,x);
 34             if(y!=1)
 35                 return false;
 36             while(now%2==0&&y==1)
 37             {
 38                 now>>=1;
 39                 y=qpow(prime[i],now,x);
 40                 if(y!=1&&y!=x-1)
 41                     return false;
 42             }
 43         }
 44         return true;
 45     }
 46     ll gcd(ll x,ll y)
 47     {
 48         return x%y==0?y:gcd(y,x%y);
 49     }
 50     inline ll f(ll x,ll y,ll mod)
 51     {
 52         return (mul(x,x,mod)+y)%mod;
 53     }
 54     inline ll get(ll n,ll c,int steps)
 55     {
 56         if(!(n&1))
 57             return 2;
 58         ll x=2,y=2,d=1;
 59         while(true)
 60         {
 61             ll tmpx=x,tmpy=y;
 62             for(int i=1;i<=steps;++i)
 63             {
 64                 x=f(x,c,n);
 65                 y=f(y,c,n);
 66                 y=f(y,c,n);
 67                 d=mul(d,((y-x)%n+n)%n,n);
 68             }
 69             d=gcd(d,n);
 70             if(d==1)
 71                 continue;
 72             if(d!=n)
 73                 return d;
 74             x=tmpx,y=tmpy;
 75             for(int i=1;i<=steps;++i)
 76             {
 77                 x=f(x,c,n);
 78                 y=f(y,c,n);
 79                 y=f(y,c,n);
 80                 d=gcd(((y-x)%n+n)%n,n);
 81                 if(d!=1&&d!=n)
 82                     return d;
 83             }
 84             return 0;
 85         }
 86     }
 87     vector<ll>wait;
 88     void pollard(ll n)
 89     {
 90         if(miller(n))
 91         {
 92             wait.push_back(n);
 93             return;
 94         }
 95         ll now=0,c=1,g=pow(n,0.1)+1;
 96         while(!now)
 97             now=get(n,++c,g);
 98         pollard(now),pollard(n/now);
 99     }
100 }
101 const ll mod=1000000007;
102 ll C[3005][3005],B[3005];
103 inline ll qpow(ll x,ll y)
104 {
105     ll ans=1,base=x%mod;
106     while(y)
107     {
108         if(y&1)
109             ans=ans*base%mod;
110         base=base*base%mod;
111         y>>=1;
112     }
113     return ans;
114 }
115 inline void init()
116 {
117     for(int i=0;i<=3004;++i)
118     {
119         C[i][0]=1;
120         for(int j=1;j<=i;++j)
121             C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
122     }
123     B[0]=1;
124     for(int i=1;i<=3002;++i)
125     {
126         for(int j=0;j<i;++j)
127             B[i]=(B[i]+B[j]*C[i+1][j])%mod;
128         B[i]=(B[i]*qpow(-i-1,mod-2)%mod+mod)%mod;
129     }
130 }
131 ll tmp[3005];
132 inline void solve()
133 {
134     ll n,x,y;
135     cin>>n>>x>>y;
136     MATH::wait.clear();
137     MATH::pollard(n);
138     vector<ll>wait=MATH::wait;
139     map<ll,int>vis;
140     for(ll x:wait)
141         ++vis[x];
142     ll ans=0;
143     for(int i=0;i<=y;++i)
144         tmp[y+1-i]=C[y+1][i]*B[i]%mod*qpow(y+1,mod-2)%mod;
145     tmp[y]+=1;
146     for(int i=1;i<=y+1;++i)
147     {
148         ll s=1;
149         for(auto A:vis)
150         {
151             ll p=A.first,k=A.second;
152             ll g=0;
153             ll now=1,delta=qpow(p,x);
154             ll G=qpow(p,y);
155             for(int j=0;j<k;++j,now=now*delta%mod)
156                 g=(g+now*(qpow(qpow(p,k-j),i)-G*qpow(qpow(p,k-j-1),i)%mod)%mod)%mod;
157             g=(g+now%mod)%mod;
158             s=s*g%mod;
159         }
160         ans=(ans+tmp[i]*s)%mod;
161     }
162     ans=ans*qpow(n%mod,y)%mod;
163     ans=(ans%mod+mod)%mod;
164     cout<<ans<<endl;
165 }
166 int main()
167 {
168     ios::sync_with_stdio(false);
169     init();
170     int T;
171     cin>>T;
172     while(T--)
173         solve();
174     return 0;
175 }