题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。

问总共有多少条不同的路径?

思路

回溯:能够实现,不断向右或者向下,但是效率过低,无法通过

动态规划:

令 dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径,因此动态方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],其中第一行 dp[0][j]和第一列 dp[i][0],在边界,所以其值只能为 1、

进一步优化:每一格的值只与上一行有关,因此我们只要维护一行的值即可

实现

回溯:

class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
result = 0
def step(x,y):
if x < m-1:
step(x+1,y)
if y < n-1:
step(x,y+1)
if x == m -1 and y == n-1:
nonlocal result
result += 1
step(0,0)
return result

动态规划:

class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
matrix = [[0 for i in range(n)] for j in range(m)]
for k in range(m):
for j in range(n):
if k < 1:
matrix[k][j] = 1
elif j < 1:
matrix[k][j] = 1
else:
matrix[k][j] = matrix[k-1][j] + matrix[k][j-1]
return matrix[m-1][n-1]

优化:

class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
matrix = [1 for i in range(n)]
for k in range(1,m):
for j in range(1,n):
matrix[j] += matrix[j-1]
return matrix[n-1]

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