AcWing 392. 会合

一个思路不难，但是实现起来有点毒瘤的题。

显然题目给出的是基环树（内向树）森林。

把每一个基环抠出来。

大力分类讨论：

1. 若 \(a, b\) 不在一个联通量里，显然是 \(-1, -1\)
2. 若 \(a, b\) 在同一颗子树内，他们聚合的点显然是最近公共祖先，因为如果再往上走，2的条件就不满足。
3. 若 \(a, b\) 在同一联通量（同一颗基环树），两颗不同的子树内。显然他们必须走到树根，然后这时有两个选择：从 \(root[a]\) 走到 \(root[b]\)，或反之。我们求出两种走的步数，按照题意进行比较即可。

第一次遇到内向树，找基环的时候不知道该如何搞。（偷瞄了一眼别人的代码）发现他是自底向上进行递归，跟往常我们写的树的自顶向下相反，学习了一下。

相比来说自底向上貌似对内向树代码简化很多（只需一次dfs），原因在于：

1. 若自顶向下遍历，我们找到一个环的时候，可能他的子树中的某些点已经遍历过了，也就是说 \(dep\)、\(root\) 等数组都算的不对，可能需要二次 \(dfs\)。
2. 若自底向上遍历，只有当找到环之后，一个点才会确保更新。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 500005, L = 19;
int n, Q, fa[N][L], f[N], root[N], dep[N], sum[N], ult[N];
bool vis[N], ins[N];
int find(int x) { return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]); }
void dfs(int u) {
	vis[u] = ins[u] = true;
	int v = fa[u][0];
	if (ins[v]) {
		// 此时从 v -> fa[v][0], ->..., -> u -> v... 构成一个环
		int cnt = 0, y = v;
		while (1) {
			root[y] = y, dep[y] = 0, ult[y] = u;
			sum[y] = ++cnt, ins[y] = false;
			if (y == u) break;
			y = fa[y][0];
		}
		return;
	}
	if (!vis[v]) dfs(v);
	if (!root[u]) root[u] = root[v], dep[u] = dep[v] + 1, ins[u] = false;
	for (int i = 1; i < L && fa[u][i - 1]; i++) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
}
int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for (int i = L - 1; ~i; i--)
        if (dep[x] - (1 << i) >= dep[y]) x = fa[x][i];
    if (x == y) return x;
    for (int i = L - 1; ~i; i--)
        if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i], y = fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &Q);
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &fa[i][0]), f[find(i)] = find(fa[i][0]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i]) dfs(i);
	while(Q--) {
		int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
		if (find(a) != find(b)) puts("-1 -1");
		else if(root[a] == root[b]) {
		    int p = lca(a, b);
		    printf("%d %d\n", dep[a] - dep[p], dep[b] - dep[p]);
		} else {
		    int x = dep[a], y = dep[b], cx, cy;
		    if (sum[root[a]] < sum[root[b]]) cx = sum[root[b]] - sum[root[a]], cy = sum[ult[root[a]]] - cx;
		    else cy = sum[root[a]] - sum[root[b]], cx = sum[ult[root[a]]] - cy;
		    if (max(x + cx, y) < max(x, y + cy) || (max(x + cx, y) == max(x, y + cy) && (min(x + cx, y) < min(x, y + cy) || (min(x + cx, y) == min(x, y + cy) && x + cx >= y))))
		        printf("%d %d\n", x + cx, y);
		    else printf("%d %d\n", x, y + cy);
		}
	}
	return 0;
}