【ybt金牌导航1-2-6】【luogu P2467】地精部落

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题目大意

有一个排列，要使得每个位置要么都比两边高，要么比两边低。

而且一定要以一高一低的方式排列。

两边的只用比旁边的那个高或低就可以。

给出排列的长度 n 和模数，要你求出排列的种数在模数取模意义下的值。

思路

我们考虑设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数的排列，最后一个数是高的，然后是 \(j\) 会有的方案数。

那我们可以发现有几个特点：

1. 高低高低和低高低高这两种形状的类型种数都是相同的。
   
   因为你可以把 \(a_1,b_1,a_2,b_2,a_3\) 看成 \(n-a_1+1,n-b_1+1,n-a_2+1,n-b_2+1，n-a_3+1\)。
   
   那这个既是另一种类型了。
2. 如果一个排列已经是满足的了，而且 \(i\) 和 \(i+1\) 不相邻。那我们可以把他们互换，还是合法的。就因为他们不相邻，那它们就算交换了，它们还是原来的高低状态，就没有问题。

那我们可以求以高结尾的方案数，然后再输出乘 \(2\) 即可。

那怎么求高结尾的呢？

考虑根据上面的特点搞转移方程。

\(f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,n-j+1}\)

为什么呢？

按相不相邻来分开，不相邻的就可以交换直接形成新的波动，那就是把 \(j\) 和 \(j-1\) 交换所能有的方案数，就是 \(f_{i,j-1}\)。

那我们考虑如果相邻，是怎么样的。

那它就变成了 前 \(i-1\) 个数的排列，\(j-1\) 是最后一个，且是山谷的情况。因为这样你就可以直接让 \(j+1\sim i-1\) 的区间的数都加一（因为是相对的关系，加了之后还是满足高低关系），然后再在最后的位置把 \(j\) 插进去。

那你由前面可以知道，你前面是山谷，那你要把山谷改成山峰，那第二位就要变成 \((i-1)-(j-1)+1\)，即 \(i - j+1\)。那就可以从 \(f[i-1][i-j+1]\) 转移过来。

然后你就得到了转移方程。

当然，两个 \(3500\) 的数组会炸空间，那我们观察到 \(i\) 这一维只会涉及前面的那一个，那就可以用滚动数组解决空间问题。

代码

#include<cstdio>

using namespace std;

int n, p, f[3][4201], ans;

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &p);

	f[2 & 1][2] = 1;//一开始最后为高的只有这一种，初始化
	for (int i = 3; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			f[i & 1][j] = (f[i & 1][j - 1] + f[(i - 1) & 1][i - j + 1]) % p;//dp
		}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = (ans + f[n & 1][i]) % p;//最后可能以不同的数字结束

	printf("%d", (ans * 2) % p);

	return 0;
}